1.14 Na tabela a seguir encontram-se valores obtidos experimentalmente para os espaços percorridos, nos respectivos tempos, por um corpo de massa m.
\mathrm{m}(\mathrm{g})
98,89
98,86
98,91
98,90
98,87
\pm 0,01
\pm 0,01
\pm 0,01
\pm 0,01
\pm 0,01
\mathrm{x}(\mathrm{cm})
3,652
3,645
3,640
3,648
3,656
\pm 0,005
\pm 0,005
\pm 0,005
\pm 0,005
\pm 0,005
\mathrm{t}(\mathrm{s})
1,28
1,22
1,25
1,24
1,20
\pm 0,01
\pm 0,01
\pm 0,01
\pm 0,01.
\pm 0,01
Determine: .
a) os valores médios de \mathrm{m}, \mathrm{x} e t ;
b) os erros prováveis de \mathrm{m}, \mathrm{x} e t ;
c) a velocidade média do corpo com o respectivo erro propagado, utilizando os valores médios de x t , bem como os erros de x e t ( \Delta \mathrm{x} e \Delta \mathrm{t} );
d) a energia cinética do corpo com o respectivo erro propagado, utilizando os valores médios de m e v, bem como os erros de m ev ( \Delta m e \Delta \mathrm{v} ).
e) Escreva todos os resultados de acordo com a teoria de erros.
Passo 1
O enunciado fornece 5 medidas repetidas para cada grandeza. Vou listar claramente os dados fornecidos (pego diretamente da tabela do enunciado):
Massas (em gramas): \,98{,}89,\\\ 98{,}86,\\\ 98{,}91,\\\ 98{,}90,\\\ 98{,}87; (incerteza indicada para cada medida: \pm0{,}01\\ \mathrm{g}).
Espaços x (em centímetros): \,3{,}652,\\\ 3{,}645,\\\ 3{,}640,\\\ 3{,}648,\\\ 3{,}656; (incerteza indicada para cada medida: \pm0{,}005\\ \mathrm{cm}).
Tempos t (em segundos): \,1{,}28,\\\ 1{,}22,\\\ 1{,}25,\\\ 1{,}24,\\\ 1{,}20; (incerteza indicada para cada medida: \pm0{,}01\\ \mathrm{s}).
O que o problema pede:
a) Calcular os valores médios de m,\\ x,\\ t.
b) Calcular os erros prováveis de m,\\ x,\\ t.
c) Calcular a velocidade média v=\dfrac{x}{t} usando os valores médios e propagar o erro usando os erros de x e t.
d) Calcular a energia cinética K=\dfrac{1}{2}mv^2 usando os valores médios de m e v e propagar o erro usando \Delta m e \Delta v.
e) Apresentar todos os resultados de acordo com a teoria de erros (arredondamento compatível com as incertezas).
Observações que vou usar sem perguntar: as medições são independentes; vou tomar o “erro provável” como o erro padrão da média (erro padrão), isto é, o desvio padrão amostral dividido por \sqrt{N} (onde N=5) — explico a fórmula no passo seguinte.
Passo 2
Como calcular a média e o erro provável (fórmulas e interpretação).
Média aritmética: para N medidas x_i,
\bar{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i.
Aqui \bar{x} é a melhor estimativa do valor verdadeiro pelo critério da média.
Desvio padrão amostral (medida da dispersão das medidas em torno da média):
Agora cálculo do desvio padrão amostral s_m. Vou calcular as diferenças e seus quadrados (apresento só o resultado final da soma dos quadrados para não alongar demais):
Interpretação: a incerteza estatística na média é \approx0{,}0093\\ \mathrm{g}. Note que o instrumento indicava \pm0{,}01\\ \mathrm{g}; ambos são da mesma ordem.
Passo 4
Cálculo do valor médio e do erro provável para o espaço x.
Observação: aqui a incerteza estatística é um pouco maior do que a indicação do instrumento \pm0{,}01\\ \mathrm{s}, então faz sentido usar o valor estatístico para propagar erros.
Passo 6
Cálculo da velocidade média v e propagação de erro.
Primeiro, converto x para metros (unidade SI) para obter v em \mathrm{m/s}:
Arredondamento e apresentação final de acordo com a teoria de erros.
Regras práticas usadas (explico para você aplicar na prova):
Normalmente a incerteza é dada com 1 algarismo significativo; se o primeiro algarismo for 1 ou 2 pode manter-se 2 algarismos significativos. Aqui escolhi apresentar as incertezas com 1 algarismo significativo, exceto quando a mantive coerente com nossos cálculos (mantendo algumas casas decimais para clareza).
O valor central deve ser arredondado para a mesma ordem de grandeza (mesma casa decimal) da incerteza.
Aplicando isso, os resultados finais ficam:
Massa média e erro provável: \bar{m}=98{,}886\\ \mathrm{g}, \Delta\bar{m}=0{,}009\\ \mathrm{g}. Apresentação: m=(98{,}886\pm0{,}009)\\ \mathrm{g}.
Tempo médio e erro provável: \bar{t}=1{,}238\\ \mathrm{s}, \Delta\bar{t}=0{,}0136\\ \mathrm{s}. Apresentação: t=(1{,}238\pm0{,}0136)\\ \mathrm{s}.
Velocidade média e erro propagado (usei \Delta\bar{x} e \Delta\bar{t} calculados): \bar{v}=0{,}02948\\ \mathrm{m/s}, \Delta\bar{v}=0{,}000324\\ \mathrm{m/s}. Em notação com incerteza arredondada: v=(0{,}0295\pm0{,}0003)\\ \mathrm{m/s}.
Energia cinética e erro propagado: \bar{K}=4{,}295\times10^{-5}\\ \mathrm{J}, \Delta\bar{K}=9{,}44\times10^{-7}\\ \mathrm{J}. Em notação arredondada compatível com incerteza: K=(4{,}30\pm0{,}09)\times10^{-5}\\ \mathrm{J}.
Se quiser, eu posso também apresentar uma versão combinando a incerteza estatística com a incerteza do instrumento (soma em quadratura) — isso às vezes é exigido em laboratório prático —, mas o enunciado pediu explicitamente usar os erros prováveis obtidos, então usei esses.