1.14 Na tabela a seguir encontram-se valores obtidos experimentalmente para os espaços percorridos, nos respectivos tempos, por um corpo de massa m.
\mathrm{m}(\mathrm{g}) 98,89 98,86 98,91 98,90 98,87
\pm 0,01 \pm 0,01 \pm 0,01 \pm 0,01 \pm 0,01
\mathrm{x}(\mathrm{cm}) 3,652 3,645 3,640 3,648 3,656
\pm 0,005 \pm 0,005 \pm 0,005 \pm 0,005 \pm 0,005
\mathrm{t}(\mathrm{s}) 1,28 1,22 1,25 1,24 1,20
\pm 0,01 \pm 0,01 \pm 0,01 \pm 0,01. \pm 0,01
Determine: .
a) os valores médios de \mathrm{m}, \mathrm{x} e t ;
b) os erros prováveis de \mathrm{m}, \mathrm{x} e t ;
c) a velocidade média do corpo com o respectivo erro propagado, utilizando os valores médios de x t , bem como os erros de x e t ( \Delta \mathrm{x} e \Delta \mathrm{t} );
d) a energia cinética do corpo com o respectivo erro propagado, utilizando os valores médios de m e v, bem como os erros de m ev ( \Delta m e \Delta \mathrm{v} ).
e) Escreva todos os resultados de acordo com a teoria de erros.

Passo 1

O enunciado fornece 5 medidas repetidas para cada grandeza. Vou listar claramente os dados fornecidos (pego diretamente da tabela do enunciado):
  • Massas (em gramas): \,98{,}89,\\\ 98{,}86,\\\ 98{,}91,\\\ 98{,}90,\\\ 98{,}87; (incerteza indicada para cada medida: \pm0{,}01\\ \mathrm{g}).
  • Espaços x (em centímetros): \,3{,}652,\\\ 3{,}645,\\\ 3{,}640,\\\ 3{,}648,\\\ 3{,}656; (incerteza indicada para cada medida: \pm0{,}005\\ \mathrm{cm}).
  • Tempos t (em segundos): \,1{,}28,\\\ 1{,}22,\\\ 1{,}25,\\\ 1{,}24,\\\ 1{,}20; (incerteza indicada para cada medida: \pm0{,}01\\ \mathrm{s}).
O que o problema pede:
a) Calcular os valores médios de m,\\ x,\\ t.
b) Calcular os erros prováveis de m,\\ x,\\ t.
c) Calcular a velocidade média v=\dfrac{x}{t} usando os valores médios e propagar o erro usando os erros de x e t.
d) Calcular a energia cinética K=\dfrac{1}{2}mv^2 usando os valores médios de m e v e propagar o erro usando \Delta m e \Delta v.
e) Apresentar todos os resultados de acordo com a teoria de erros (arredondamento compatível com as incertezas).
Observações que vou usar sem perguntar: as medições são independentes; vou tomar o “erro provável” como o erro padrão da média (erro padrão), isto é, o desvio padrão amostral dividido por \sqrt{N} (onde N=5) — explico a fórmula no passo seguinte.

Passo 2

Como calcular a média e o erro provável (fórmulas e interpretação).
  • Média aritmética: para N medidas x_i,
\bar{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i.
Aqui \bar{x} é a melhor estimativa do valor verdadeiro pelo critério da média.
  • Desvio padrão amostral (medida da dispersão das medidas em torno da média):
s=\sqrt{\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N (x_i-\bar{x})^2}.
Explicação: usamos N-1 no denominador para obter uma estimativa não enviesada da variância quando usamos a média amostral.
  • Erro provável (erro padrão da média): é definido por
\Delta\bar{x}=\frac{s}{\sqrt{N}}.
Interpretação didática: \Delta\bar{x} nos diz com que precisão conhecemos a média a partir de N medidas. Quanto mais medidas, menor \Delta\bar{x}.
Vou aplicar essas fórmulas separadamente para m,\\ x,\\ t.

Passo 3

Cálculo do valor médio e do erro provável para a massa m.
  • Soma das massas:
\sum m_i = 98{,}89+98{,}86+98{,}91+98{,}90+98{,}87 = 494{,}43.
  • Média:
\bar{m}=\frac{494{,}43}{5}=98{,}886\\ \mathrm{g}.
Agora cálculo do desvio padrão amostral s_m. Vou calcular as diferenças e seus quadrados (apresento só o resultado final da soma dos quadrados para não alongar demais):
\sum (m_i-\bar{m})^2 = 0{,}001720\\ (\mathrm{g}^2).
Logo
s_m=\sqrt{\frac{0{,}001720}{5-1}}=\sqrt{0{,}000430}=0{,}020736\\ \mathrm{g}.
E o erro provável (erro padrão da média) é
\Delta\bar{m}=\frac{s_m}{\sqrt{5}}=\frac{0{,}020736}{\sqrt{5}}=0{,}00928\\ \mathrm{g}.
Interpretação: a incerteza estatística na média é \approx0{,}0093\\ \mathrm{g}. Note que o instrumento indicava \pm0{,}01\\ \mathrm{g}; ambos são da mesma ordem.

Passo 4

Cálculo do valor médio e do erro provável para o espaço x.
  • Soma:
\sum x_i = 3{,}652+3{,}645+3{,}640+3{,}648+3{,}656 = 18{,}241.
  • Média:
\bar{x}=\frac{18{,}241}{5}=3{,}6482\\ \mathrm{cm}.
Desvio padrão amostral: calculei
\sum (x_i-\bar{x})^2 = 0{,}0001528\\ (\mathrm{cm}^2),
portanto
s_x=\sqrt{\frac{0{,}0001528}{4}}=\sqrt{0{,}0000382}=0{,}00618\\ \mathrm{cm}.
Erro provável:
\Delta\bar{x}=\frac{s_x}{\sqrt{5}}=\frac{0{,}00618}{\sqrt{5}}=0{,}00277\\ \mathrm{cm}\\ (\approx0{,}0028\\ \mathrm{cm}).
Comentário: a resolução mostra que as medições de x são bastante reprodutíveis (pequena dispersão).

Passo 5

Cálculo do valor médio e do erro provável para o tempo t.
  • Soma:
\sum t_i = 1{,}28+1{,}22+1{,}25+1{,}24+1{,}20 = 6{,}19.
  • Média:
\bar{t}=\frac{6{,}19}{5}=1{,}238\\ \mathrm{s}.
Desvio padrão amostral: calculei
\sum (t_i-\bar{t})^2 = 0{,}00368\\ (\mathrm{s}^2),
logo
s_t=\sqrt{\frac{0{,}00368}{4}}=\sqrt{0{,}00092}=0{,}03033\\ \mathrm{s}.
Erro provável:
\Delta\bar{t}=\frac{s_t}{\sqrt{5}}=\frac{0{,}03033}{\sqrt{5}}=0{,}01357\\ \mathrm{s}\\ (\approx0{,}0136\\ \mathrm{s}).
Observação: aqui a incerteza estatística é um pouco maior do que a indicação do instrumento \pm0{,}01\\ \mathrm{s}, então faz sentido usar o valor estatístico para propagar erros.

Passo 6

Cálculo da velocidade média v e propagação de erro.
  • Primeiro, converto x para metros (unidade SI) para obter v em \mathrm{m/s}:
\bar{x}=3{,}6482\\ \mathrm{cm}=0{,}036482\\ \mathrm{m},\qquad \Delta\bar{x}=0{,}00277\\ \mathrm{cm}=0{,}0000277\\ \mathrm{m}.
  • Tempo já em segunda:
\bar{t}=1{,}238\\ \mathrm{s},\qquad \Delta\bar{t}=0{,}01357\\ \mathrm{s}.
Velocidade média:
\bar{v}=\frac{\bar{x}}{\bar{t}}=\frac{0{,}036482}{1{,}238}=0{,}02948\\ \mathrm{m/s}.
Agora a propagação de erro para uma razão v=x/t. A fórmula (aproximação linear, erros independentes) é:
\left(\frac{\Delta v}{v}\right)^2=\left(\frac{\Delta x}{x}\right)^2+\left(\frac{\Delta t}{t}\right)^2.
Explicação rápida: quando uma grandeza é o quociente de duas quantidades, as incertezas relativas se somam em quadratura.
Cálculos numéricos das razões relativas:
\frac{\Delta x}{x}=\frac{0{,}0000277}{0{,}036482}=0{,}000758, \qquad \frac{\Delta t}{t}=\frac{0{,}01357}{1{,}238}=0{,}01096.
Portanto
\frac{\Delta v}{v}=\sqrt{(0{,}000758)^2+(0{,}01096)^2}=0{,}010985.
Assim
\Delta v=\bar{v}\times0{,}010985=0{,}02948\times0{,}010985=0{,}000324\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: o erro relativo é dominado pelo erro no tempo (a contribuição de \Delta x é desprezível).

Passo 7

Cálculo da energia cinética K e propagação de erro.
Fórmula:
K=\frac{1}{2}m v^2.
Vou usar m em kg: \bar{m}=98{,}886\\ \mathrm{g}=0{,}098886\\ \mathrm{kg} e \Delta\bar{m}=0{,}00928\\ \mathrm{g}=0{,}00000928\\ \mathrm{kg}.
Cálculo de K:
\bar{v}^2=(0{,}02948)^2=0{,}00086907\\ (\mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2).
\bar{K}=\frac{1}{2}\times0{,}098886\times0{,}00086907=4{,}295\times10^{-5}\\ \mathrm{J}.
Propagação do erro para K. Como K\propto m v^2, a incerteza relativa é:
\left(\frac{\Delta K}{K}\right)^2=\left(\frac{\Delta m}{m}\right)^2+\left(2\frac{\Delta v}{v}\right)^2.
Explicação: a potência 2 no v^2 faz aparecer o fator 2 na contribuição relativa de \Delta v.
Cálculo numérico:
\frac{\Delta m}{m}=\frac{9{,}28\times10^{-6}}{0{,}098886}=9{,}38\times10^{-5}, \qquad 2\frac{\Delta v}{v}=2\times\frac{0{,}000324}{0{,}02948}=0{,}02197.
A contribuição de \Delta m é desprezível comparada à de \Delta v. Então
\frac{\Delta K}{K}=\sqrt{(9{,}38\times10^{-5})^2+(0{,}02197)^2}=0{,}02197.
Portanto
\Delta K=\bar{K}\times0{,}02197=4{,}295\times10^{-5}\times0{,}02197=9{,}44\times10^{-7}\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Arredondamento e apresentação final de acordo com a teoria de erros.
Regras práticas usadas (explico para você aplicar na prova):
  • Normalmente a incerteza é dada com 1 algarismo significativo; se o primeiro algarismo for 1 ou 2 pode manter-se 2 algarismos significativos. Aqui escolhi apresentar as incertezas com 1 algarismo significativo, exceto quando a mantive coerente com nossos cálculos (mantendo algumas casas decimais para clareza).
  • O valor central deve ser arredondado para a mesma ordem de grandeza (mesma casa decimal) da incerteza.
Aplicando isso, os resultados finais ficam:
  • Massa média e erro provável: \bar{m}=98{,}886\\ \mathrm{g}, \Delta\bar{m}=0{,}009\\ \mathrm{g}. Apresentação: m=(98{,}886\pm0{,}009)\\ \mathrm{g}.
  • Espaço médio e erro provável: \bar{x}=3{,}6482\\ \mathrm{cm}, \Delta\bar{x}=0{,}0028\\ \mathrm{cm}. Apresentação: x=(3{,}6482\pm0{,}0028)\\ \mathrm{cm}.
  • Tempo médio e erro provável: \bar{t}=1{,}238\\ \mathrm{s}, \Delta\bar{t}=0{,}0136\\ \mathrm{s}. Apresentação: t=(1{,}238\pm0{,}0136)\\ \mathrm{s}.
  • Velocidade média e erro propagado (usei \Delta\bar{x} e \Delta\bar{t} calculados): \bar{v}=0{,}02948\\ \mathrm{m/s}, \Delta\bar{v}=0{,}000324\\ \mathrm{m/s}. Em notação com incerteza arredondada: v=(0{,}0295\pm0{,}0003)\\ \mathrm{m/s}.
  • Energia cinética e erro propagado: \bar{K}=4{,}295\times10^{-5}\\ \mathrm{J}, \Delta\bar{K}=9{,}44\times10^{-7}\\ \mathrm{J}. Em notação arredondada compatível com incerteza: K=(4{,}30\pm0{,}09)\times10^{-5}\\ \mathrm{J}.
Se quiser, eu posso também apresentar uma versão combinando a incerteza estatística com a incerteza do instrumento (soma em quadratura) — isso às vezes é exigido em laboratório prático —, mas o enunciado pediu explicitamente usar os erros prováveis obtidos, então usei esses.

Resposta

m=(98{,}886\pm0{,}009)\\ \mathrm{g}
x=(3{,}6482\pm0{,}0028)\\ \mathrm{cm}
t=(1{,}238\pm0{,}0136)\\ \mathrm{s}
v=(0{,}0295\pm0{,}0003)\\ \mathrm{m/s}
K=(4{,}30\pm0{,}09)\times10^{-5}\\ \mathrm{J}

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