1.28
\operatorname{Se} \mathbf{D}=5 \mathbf{a}_{r}-3 \mathbf{a}_{\theta} +4 \mathbf{a}_{\varphi}, determine \mathbf{D} \cdot \mathbf{a}_{\rho} em M(1,2,3).

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação: a vetor \mathbf{D} expresso em base esférica é
\mathbf{D}=5\,\mathbf{a}_{r}-3\,\mathbf{a}_{\theta}+4\,\mathbf{a}_{\varphi},
e pede o valor do produto escalar \mathbf{D}\cdot\mathbf{a}_{\rho} no ponto M(1,2,3) (onde as coordenadas 1,2,3 são as coordenadas cartesianas x=1,\;y=2,\;z=3).
Informações relevantes listadas:
  • A base em que \mathbf{D} está dada é a base esférica \{\mathbf{a}_r,\mathbf{a}_\theta,\mathbf{a}_\varphi\}.
  • O vetor com o qual fazemos o produto escalar é \mathbf{a}_{\rho} (o versor radial cilíndrico).
  • O ponto M está em coordenadas cartesianas (1,2,3); a resposta depende das ângulos esféricos \theta e \varphi naquele ponto (ou seja, precisamos calcular r,\theta,\varphi em M).

Passo 2

Vamos escrever (e explicar) as expressões das direções unitárias em termos da base cartesiana \{\mathbf{a}_x,\mathbf{a}_y,\mathbf{a}_z\}.
Definições e significados das variáveis:
  • r é a distância do ponto à origem: r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.
  • \theta é o ângulo polar (colatitude), medido a partir do eixo z (ou seja, \theta satisfaz \cos\theta=z/r).
  • \varphi é o ângulo azimutal no plano xy, satisfazendo \cos\varphi=x/\rho e \sin\varphi=y/\rho, onde \rho=\sqrt{x^2+y^2} é a distância radial no plano xy.
Expressões conhecidas (estas são fórmulas padrão que você deve lembrar):
\mathbf{a}_r = \sin\theta\cos\varphi\,\mathbf{a}_x + \sin\theta\sin\varphi\,\mathbf{a}_y + \cos\theta\,\mathbf{a}_z,
\mathbf{a}_\theta = \cos\theta\cos\varphi\,\mathbf{a}_x + \cos\theta\sin\varphi\,\mathbf{a}_y - \sin\theta\,\mathbf{a}_z,
\mathbf{a}_\varphi = -\sin\varphi\,\mathbf{a}_x + \cos\varphi\,\mathbf{a}_y.
O versor cilíndrico radial \mathbf{a}_\rho (no plano xy, apontando da origem para a projeção do ponto) é
\mathbf{a}_\rho = \cos\varphi\,\mathbf{a}_x + \sin\varphi\,\mathbf{a}_y.
Observação intuitiva: \mathbf{a}_\rho é exatamente a projeção de \mathbf{a}_r no plano xy (isto explica a relação que veremos).

Passo 3

Calcule os produtos escalares entre as bases que aparecem em \mathbf{D} e \mathbf{a}_\rho. Usamos as expressões em componentes e a ortonormalidade da base cartesiana.
  1. Produto \mathbf{a}_r\cdot\mathbf{a}_\rho:
\mathbf{a}_r\cdot\mathbf{a}_\rho = (\sin\theta\cos\varphi)(\cos\varphi) + (\sin\theta\sin\varphi)(\sin\varphi) + (\cos\theta)(0).
As duas últimas parcelas cobrem \cos^2\varphi+\sin^2\varphi=1, então
\mathbf{a}_r\cdot\mathbf{a}_\rho = \sin\theta (\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)=\sin\theta.
  1. Produto \mathbf{a}_\theta\cdot\mathbf{a}_\rho:
\mathbf{a}_\theta\cdot\mathbf{a}_\rho = (\cos\theta\cos\varphi)(\cos\varphi) + (\cos\theta\sin\varphi)(\sin\varphi) + (-\sin\theta)(0),
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\mathbf{a}_\theta\cdot\mathbf{a}_\rho = \cos\theta(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)=\cos\theta.
  1. Produto \mathbf{a}_\varphi\cdot\mathbf{a}_\rho:
\mathbf{a}_\varphi\cdot\mathbf{a}_\rho = (-\sin\varphi)(\cos\varphi) + (\cos\varphi)(\sin\varphi)=0.
Isto confirma que \mathbf{a}_\varphi é perpendicular a \mathbf{a}_\rho.

Passo 4

Usando linearidade do produto escalar, escrevemos
\mathbf{D}\cdot\mathbf{a}_\rho = 5(\mathbf{a}_r\cdot\mathbf{a}_\rho) -3(\mathbf{a}_\theta\cdot\mathbf{a}_\rho) + 4(\mathbf{a}_\varphi\cdot\mathbf{a}_\rho).
Substituindo os resultados do passo anterior:
\mathbf{D}\cdot\mathbf{a}_\rho = 5\sin\theta -3\cos\theta + 4\cdot 0 = 5\sin\theta - 3\cos\theta.
Então precisamos avaliar \sin\theta e \cos\theta no ponto M(1,2,3).

Passo 5

Calcule r, \cos\theta e \sin\theta em M(1,2,3).
  1. Distância radial
r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}.
  1. Cosseno do ângulo polar
\cos\theta=\frac{z}{r}=\frac{3}{\sqrt{14}}.
  1. Seno do ângulo polar (usando \sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}):
\sin\theta=\sqrt{1-\left(\frac{3}{\sqrt{14}}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{9}{14}}=\sqrt{\frac{5}{14}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{14}}.

Passo 6

Substitua \sin\theta e \cos\theta na expressão de \mathbf{D}\cdot\mathbf{a}_\rho:
\mathbf{D}\cdot\mathbf{a}_\rho = 5\cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{14}} - 3\cdot\frac{3}{\sqrt{14}} = \frac{5\sqrt{5} - 9}{\sqrt{14}}.
Isto é uma forma exata. (Opcional: multiplicando numerador e denominador por \sqrt{14} obtém-se \dfrac{5\sqrt{70}-9\sqrt{14}}{14}.)

Resposta

\dfrac{5\sqrt{5}-9}{\sqrt{14}}

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