1.28
, determine
em
.
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação: a vetor
expresso em base esférica é
e pede o valor do produto escalar
no ponto
(onde as coordenadas
são as coordenadas cartesianas
).
Informações relevantes listadas:
- A base em que
está dada é a base esférica . - O vetor com o qual fazemos o produto escalar é
(o versor radial cilíndrico). - O ponto
está em coordenadas cartesianas ; a resposta depende das ângulos esféricos e naquele ponto (ou seja, precisamos calcular em ).
Passo 2
Vamos escrever (e explicar) as expressões das direções unitárias em termos da base cartesiana
.
Definições e significados das variáveis:
-
é a distância do ponto à origem: . -
é o ângulo polar (colatitude), medido a partir do eixo (ou seja, satisfaz ). -
é o ângulo azimutal no plano , satisfazendo e , onde é a distância radial no plano .
Expressões conhecidas (estas são fórmulas padrão que você deve lembrar):
O versor cilíndrico radial
(no plano
, apontando da origem para a projeção do ponto) é
Observação intuitiva:
é exatamente a projeção de
no plano
(isto explica a relação que veremos).
Passo 3
Calcule os produtos escalares entre as bases que aparecem em
e
. Usamos as expressões em componentes e a ortonormalidade da base cartesiana.
- Produto
:
As duas últimas parcelas cobrem
, então
- Produto
:
logo
- Produto
:
Isto confirma que
é perpendicular a
.
Passo 4
Usando linearidade do produto escalar, escrevemos
Substituindo os resultados do passo anterior:
Então precisamos avaliar
e
no ponto
.
Passo 5
Calcule
,
e
em
.
- Distância radial
- Cosseno do ângulo polar
- Seno do ângulo polar (usando
):
Passo 6
Substitua
e
na expressão de
:
Isto é uma forma exata. (Opcional: multiplicando numerador e denominador por
obtém-se
.)