Um bloco de 3 kg de massa, é presa a uma mola de constante elástica 200 \mathrm{N} / \mathrm{m}, e colocada em equilibrio em dois líquidos imiscíveis de densidades; \rho_{A}= 5 \rho e \rho_{B}=2 \rho, onde \rho é densidade do bloco. O bloco encontra-se com dois terço do seu volume imerso no líquido A e um terço do seu volume imerso no líquido B. Qual é a deformação da mola.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a deformação da mola:
  • Massa do bloco: m=3\\ \mathrm{kg}.
  • Constante elástica da mola: k=200\\ \mathrm{N/m}.
  • Densidade do bloco: \rho.
  • Densidades dos líquidos: \rho_{A}=5\rho e \rho_{B}=2\rho.
  • Fração do volume do bloco imerso: \tfrac{2}{3} do volume em A e \tfrac{1}{3} do volume em B.
    O que se pede: a deformação (extensão) \,x da mola quando o conjunto está em equilíbrio.

Passo 2

Conceitos e fórmulas úteis (curto resumo didático):
  • Arquimedes: a força de empuxo de um fluido sobre um corpo é igual ao peso do fluido deslocado. Em fórmula:
B=\rho_{\text{fluido}}\,g\,V_{\text{submerso}}
onde \rho_{\text{fluido}} é a densidade do fluido, g é a aceleração da gravidade e V_{\text{submerso}} é o volume do corpo dentro desse fluido.
  • Peso do bloco:
W=m\,g.
  • Equilíbrio vertical: as forças verticais se anulam. Aqui há empuxo(s), peso e força elástica da mola. A mola fornece uma força elástica de módulo k\,x.
  • Interpretação de sinais: se a soma dos empuxos for maior que o peso, há uma força resultante para cima; para equilibrar esse empuxo extra a mola terá de exercer uma força para baixo de módulo igual à diferença B-W. Em módulo, a força elástica em equilíbrio é |k x|=|B-W|. (Vou escolher g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}.)

Passo 3

Calcular o volume total do bloco usando sua massa e densidade:
V=\frac{m}{\rho}=\frac{3}{\rho}.
Explico: densidade é massa por volume, \rho=m/V, então V=m/\rho.

Passo 4

Calcular os volumes imersos em cada líquido (usando as frações dadas):
V_{A}=\frac{2}{3}V=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{\rho}=\frac{2}{\rho},
V_{B}=\frac{1}{3}V=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{\rho}=\frac{1}{\rho}.
Nota: aqui usei diretamente as frações \tfrac{2}{3} e \tfrac{1}{3} aplicadas ao volume total V.

Passo 5

Calcular os empuxos de cada líquido com a fórmula de Arquimedes:
  • Empuxo do líquido A:
B_{A}=\rho_{A}\,g\,V_{A}=(5\rho)\,g\cdot\frac{2}{\rho}=10\,g.
Observe que a densidade \rho do bloco cancela.
  • Empuxo do líquido B:
B_{B}=\rho_{B}\,g\,V_{B}=(2\rho)\,g\cdot\frac{1}{\rho}=2\,g.
  • Empuxo total:
B=B_{A}+B_{B}=10\,g+2\,g=12\,g.
Explicação: os termos \rho cancelaram porque os volumes imersos foram obtidos em função de \rho; isso simplifica muito as contas.

Passo 6

Calcular o peso do bloco:
W=m\,g=3\,g.

Passo 7

Comparar empuxo total com o peso e interpretar a força elástica necessária:
B-W=12\,g-3\,g=9\,g.
Isto mostra que o empuxo é maior que o peso: existe uma força resultante para cima de módulo 9\,g. Para que o bloco esteja em equilíbrio fixo, a mola precisa exercer, para baixo, uma força elástica de mesmo módulo. Assim, em módulo,
k\,x=B-W=9\,g.
(A escolha do sinal se faz pelo equilíbrio de forças: empuxo para cima, peso para baixo; falta uma força para baixo que é fornecida pela mola esticada, portanto k x=B-W.)

Passo 8

Calcular a deformação x:
x=\frac{9\,g}{k}.
Substituindo g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}} e k=200\\ \mathrm{N/m}:
x=\frac{9\cdot 9,8}{200}=\frac{88,2}{200}=0,441\\ \mathrm{m}.
Interpretação final: a mola fica esticada (ou deformada) em 0,441\\ \mathrm{m} para que a força elástica para baixo compense o excesso de empuxo sobre o peso.

Resposta

0,441\\ \mathrm{m}

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