3.28 Sabendo que a tração no cabo B D é de 900 N , determine (a) o ângulo entre o cabo B D e a barra A B e (b) a projeção em A B da força exercida pelo cabo B D no ponto B.

Passo 1

O enunciado fornece a tração no cabo BD igual a 900\\ \text{N} e pede duas coisas:
  1. (a) o ângulo entre o cabo BD e a barra AB;
  2. (b) a projeção em AB da força exercida pelo cabo BD no ponto B.
Informações explicitamente dadas: \text{Tração em }BD = 900\\ \text{N}.çã
Informações ausentes (importantes): não foi enviada a figura nem coordenadas/medidas que descrevam as posições relativas dos pontos A, B e D (por exemplo, coordenadas de A,B,D, comprimentos e orientações das barras/cabos, ou ângulos dados). Sem esses dados geométricos não dá para calcular numericamente o ângulo nem a projeção.

Passo 2

Por que não é possível dar a resposta numérica imediatamente: para achar o ângulo entre duas linhas (no caso, o cabo BD e a barra AB) precisamos das direções dessas linhas — isto é, dos vetores que apontam ao longo de BD e de AB. Esses vetores só se obtêm a partir das coordenadas dos pontos A,B,D ou de informações geométricas equivalentes. Como a figura/dados não foram fornecidos, não há valores numéricos com que trabalhar. Logo, não é possível calcular valores numéricos finais para (a) e (b).
Ainda assim, vou te ensinar passo a passo o método que o seu professor espera que você use na prova — assim, quando você tiver a figura ou as coordenadas, vai conseguir aplicar direto.

Passo 3

Representação vetorial das linhas e como obter as direções:
  • Seja \vec{r}_A,\\ \vec{r}_B,\\ \vec{r}_D os vetores posição dos pontos A,B,D em relação a um referencial qualquer (por exemplo, Oxyz). Esses vetores contêm as coordenadas dos pontos.
  • O vetor direção do cabo BD é
\vec{BD}=\vec{r}_D-\vec{r}_B.
  • O vetor direção da barra AB é
\vec{AB}=\vec{r}_B-\vec{r}_A.
(Percebe? \vec{AB} aponta de A para B. Como queremos o ângulo em B entre a barra e o cabo, tanto faz usar \vec{BA} ou \vec{AB} — só atenção ao sinal ao projetar.)
Explicação do que significa cada coisa: se A=(x_A,y_A,z_A), então \vec{r}_A=(x_A,y_A,z_A). Subtraindo coordenadas obtemos as componentes dos vetores direção.

Passo 4

Como calcular o ângulo entre duas direções (produto escalar):
  • O produto escalar (dot product) entre dois vetores \vec{u}=(u_x,u_y,u_z) e \vec{v}=(v_x,v_y,v_z) é
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_x v_x+u_y v_y+u_z v_z.
  • A relação entre produto escalar e ângulo é
\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\;|\vec{v}|\cos\theta,
onde |\vec{u}| é a magnitude de \vec{u} dada por |\vec{u}|=\sqrt{u_x^2+u_y^2+u_z^2}, e \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}.
Aplicando ao nosso caso: com \vec{u}=\vec{BD} e \vec{v}=\vec{AB},
\cos\theta=\frac{\vec{BD}\cdot\vec{AB}}{|\vec{BD}|\;|\vec{AB}|}.
Portanto, para achar \theta na prova você faz:
  1. calcula as componentes de \vec{BD} e \vec{AB};
  2. calcula o produto escalar \vec{BD}\cdot\vec{AB};
  3. calcula as magnitudes |\vec{BD}| e |\vec{AB}|;
  4. calcula \cos\theta pela fórmula acima;
  5. obtém \theta=\operatorname{arccos}(\cos\theta) (em graus ou radianos conforme pedido).
Observação didática: se os vetores estiverem em 2D é o mesmo procedimento, só que com duas componentes.

Passo 5

Como calcular a projeção da força (com ênfase didática passo a passo):
  • A força exercida pelo cabo em B é um vetor \vec{F}_{BD} de magnitude 900\\ \text{N} apontando na direção de BD. Primeiro obtemos a direção unitária do cabo:
\hat{u}_{BD}=\frac{\vec{BD}}{|\vec{BD}|}.
Então o vetor força é
\vec{F}_{BD}=900\\ \hat{u}_{BD}.
  • A projeção escalar (módulo da componente) da força \vec{F}_{BD} sobre a barra AB (isto é, a componente de \vec{F}_{BD} ao longo de AB) é
F_{\text{sobre }AB}=\vec{F}_{BD}\cdot\hat{u}_{AB},
onde
\hat{u}_{AB}=\frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|}
é o versor (vetor unitário) na direção de AB.
  • Usando que \vec{F}_{BD}=900\hat{u}_{BD},
F_{\text{sobre }AB}=900\;(\hat{u}_{BD}\cdot\hat{u}_{AB})=900\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre BD e AB. Portanto, se você já calcular \theta no passo anterior, a projeção escalar é simplesmente 900\cos\theta.
  • Se quiser a projeção vetorial (o vetor componente de \vec{F}_{BD} ao longo de AB),
\text{proj}_{AB}\vec{F}_{BD}=(\vec{F}_{BD}\cdot\hat{u}_{AB})\,\hat{u}_{AB}=(900\cos\theta)\,\hat{u}_{AB}.
Observações práticas para a prova: cuide do sinal de \cos\theta. Se \theta>90^\circ, a componente ao longo de AB será negativa (ou seja, a força tem componente contrária à direção escolhida para \hat{u}_{AB}) — isso é normal e importante para somar forças corretamente.

Passo 6

Exemplo ilustrativo (apenas para fixar o procedimento): suponha que as coordenadas fossem fornecidas e fossem A=(0,0,0), B=(2,0,0), D=(2,3,4). Eu mostro rapidamente como aplicar:
  • \vec{AB}=\vec{r}_B-\vec{r}_A=(2,0,0).
  • \vec{BD}=\vec{r}_D-\vec{r}_B=(0,3,4).
  • Produto escalar: \vec{BD}\cdot\vec{AB}=0\cdot 2 + 3\cdot 0 + 4\cdot 0 = 0.
  • Magnitudes: |\vec{AB}|=\sqrt{2^2+0+0}=2, |\vec{BD}|=\sqrt{0^2+3^2+4^2}=5.
  • Então \cos\theta=0/(2\cdot 5)=0 e \theta=90^\circ.
  • Projeção escalar: 900\cos\theta=900\cdot 0=0\\ \text{N}.
    Isto era um exemplo fictício — use exatamente o mesmo procedimento com os dados reais do seu enunciado.

Passo 7

Resumo do que você precisa fazer quando tiver a figura/dados:
  1. obter as coordenadas A,B,D ou os vetores direção de AB e BD;
  2. formar \vec{AB} e \vec{BD};
  3. calcular \theta por \cos\theta=\dfrac{\vec{BD}\cdot\vec{AB}}{|\vec{BD}||\vec{AB}|} e \theta=\operatorname{arccos}(\cdot);
  4. calcular a projeção escalar F_{\text{sobre }AB}=900\cos\theta;
  5. (se precisar) calcular a projeção vetorial (900\cos\theta)\,\hat{u}_{AB}.
Força de amigo: segue esse passo a passo na prova e dá certo — só cuidado com sinais e com unidades.

Resposta

Não é possível determinar numericamente (a) o ângulo entre BD e AB nem (b) a projeção em AB da força de 900\\ \text{N} porque a figura ou as coordenadas/medidas dos pontos A,B,D não foram fornecidas.

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