3.28 Sabendo que a tração no cabo
é de 900 N , determine (a) o ângulo entre o cabo
e a barra
e (b) a projeção em
da força exercida pelo cabo
no ponto
.
Passo 1
O enunciado fornece a tração no cabo
igual a
e pede duas coisas:
- (a) o ângulo entre o cabo
e a barra ; - (b) a projeção em
da força exercida pelo cabo no ponto .
Informações explicitamente dadas:
Informações ausentes (importantes): não foi enviada a figura nem coordenadas/medidas que descrevam as posições relativas dos pontos
,
e
(por exemplo, coordenadas de
, comprimentos e orientações das barras/cabos, ou ângulos dados). Sem esses dados geométricos não dá para calcular numericamente o ângulo nem a projeção.
Passo 2
Por que não é possível dar a resposta numérica imediatamente: para achar o ângulo entre duas linhas (no caso, o cabo
e a barra
) precisamos das direções dessas linhas — isto é, dos vetores que apontam ao longo de
e de
. Esses vetores só se obtêm a partir das coordenadas dos pontos
ou de informações geométricas equivalentes. Como a figura/dados não foram fornecidos, não há valores numéricos com que trabalhar. Logo, não é possível calcular valores numéricos finais para (a) e (b).
Ainda assim, vou te ensinar passo a passo o método que o seu professor espera que você use na prova — assim, quando você tiver a figura ou as coordenadas, vai conseguir aplicar direto.
Passo 3
Representação vetorial das linhas e como obter as direções:
- Seja
os vetores posição dos pontos em relação a um referencial qualquer (por exemplo, ). Esses vetores contêm as coordenadas dos pontos. - O vetor direção do cabo
é
- O vetor direção da barra
é
(Percebe?
aponta de
para
. Como queremos o ângulo em
entre a barra e o cabo, tanto faz usar
ou
— só atenção ao sinal ao projetar.)
Explicação do que significa cada coisa: se
, então
. Subtraindo coordenadas obtemos as componentes dos vetores direção.
Passo 4
Como calcular o ângulo entre duas direções (produto escalar):
- O produto escalar (dot product) entre dois vetores
e é
- A relação entre produto escalar e ângulo é
onde
é a magnitude de
dada por
, e
é o ângulo entre
e
.
Aplicando ao nosso caso: com
e
,
Portanto, para achar
na prova você faz:
- calcula as componentes de
e ; - calcula o produto escalar
; - calcula as magnitudes
e ; - calcula
pela fórmula acima; - obtém
(em graus ou radianos conforme pedido).
Observação didática: se os vetores estiverem em 2D é o mesmo procedimento, só que com duas componentes.
Passo 5
Como calcular a projeção da força (com ênfase didática passo a passo):
- A força exercida pelo cabo em
é um vetor de magnitude apontando na direção de . Primeiro obtemos a direção unitária do cabo:
Então o vetor força é
- A projeção escalar (módulo da componente) da força
sobre a barra (isto é, a componente de ao longo de ) é
onde
é o versor (vetor unitário) na direção de
.
- Usando que
,
onde
é o ângulo entre
e
. Portanto, se você já calcular
no passo anterior, a projeção escalar é simplesmente
.
- Se quiser a projeção vetorial (o vetor componente de
ao longo de ),
Observações práticas para a prova: cuide do sinal de
. Se
, a componente ao longo de
será negativa (ou seja, a força tem componente contrária à direção escolhida para
) — isso é normal e importante para somar forças corretamente.
Passo 6
Exemplo ilustrativo (apenas para fixar o procedimento): suponha que as coordenadas fossem fornecidas e fossem
,
,
. Eu mostro rapidamente como aplicar:
-
. -
. - Produto escalar:
. - Magnitudes:
, . - Então
e . - Projeção escalar:
.
Isto era um exemplo fictício — use exatamente o mesmo procedimento com os dados reais do seu enunciado.
Passo 7
Resumo do que você precisa fazer quando tiver a figura/dados:
- obter as coordenadas
ou os vetores direção de e ; - formar
e ; - calcular
por e ; - calcular a projeção escalar
; - (se precisar) calcular a projeção vetorial
.
Força de amigo: segue esse passo a passo na prova e dá certo — só cuidado com sinais e com unidades.
Resposta
Não é possível determinar numericamente (a) o ângulo entre
e
nem (b) a projeção em
da força de
porque a figura ou as coordenadas/medidas dos pontos
não foram fornecidas.