1. Na festa de São Cosme e Damião é tradição na Bahia distribuir doces para as crianças. Tia Nástacia como é conhecida a senhora que faz isso há trinta anos em frente à Igreja do Senhor do Bonfim comprou 140 balas de banana, 120 paçoquinha, 100 chicletes de morango e 80 cocadas. Agora ela precisa da nossa ajuda, pois deve fazer pacotinhos, sendo que cada um deles deve conter apenas um tipo de doce, porém todos com o mesmo número de itens e na maior quantidade possível. Sabendo que todos os doces devem ser utilizados, o número total de pacotinhos será de:
    A. 20.
    B. 19.
    C. 42.
    D. 51.
    E. 22.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Quantidades de cada doce: \,140 balas de banana, \,120 paçoquinhas, \,100 chicletes de morango e \,80 cocadas.
  • Condições dos pacotinhos:
    • Cada pacotinho contém apenas um tipo de doce.
    • Todos os pacotinhos têm o mesmo número de itens.
    • Esse número de itens por pacotinho deve ser o maior possível.
    • Todos os doces devem ser utilizados (nenhum sobra).
  • O que o enunciado pergunta: qual é o número total de pacotinhos que serão feitos?

Passo 2

Qual é a ideia para resolver? Precisamos encontrar o maior número de itens por pacotinho que divide exatamente cada uma das quantidades dadas (para não sobrar nada). Esse maior número é o maior divisor comum das quatro quantidades. Explicando de forma bem didática:
  • Definição intuitiva: o maior divisor comum (MDC, ou gcd em inglês) de um conjunto de números é o maior número inteiro maior que zero que divide todos eles sem resto.
  • Por que isso resolve o problema: se cada pacotinho tem k itens e k divide todas as quantidades, então podemos formar \tfrac{\text{quantidade}}{k} pacotinhos de cada tipo sem sobra. Para que o número de itens por pacotinho seja o maior possível, k deve ser o MDC das quantidades.
Agora vou calcular o MDC passo a passo usando o método clássico (algoritmo de Euclides), que é rápido de fazer na prova.

Passo 3

Calcular o MDC de \,140 e \,120 usando o algoritmo de Euclides:
140 = 120\cdot1 + 20
120 = 20\cdot6 + 0
Como a última sobra não nula foi \,20, temos
\gcd(140,120)=20.

Passo 4

Agora incorporar as outras quantidades. Calcular \gcd(20,100):
100 = 20\cdot5 + 0
Logo
\gcd(20,100)=20.
Em seguida calcular \gcd(20,80):
80 = 20\cdot4 + 0
Logo
\gcd(20,80)=20.
Portanto o maior número de itens por pacotinho possível que divide todas as quantidades é \,20.

Passo 5

Com 20 itens por pacotinho, calculo quantos pacotinhos saem no total somando todas as unidades e dividindo por 20. Primeiro a soma:
140 + 120 + 100 + 80 = 440.
Agora divido:
\frac{440}{20} = 22.

Passo 6

Dicas rápidas para a prova (meu tom de amigo aqui): quando pedirem “maior número possível” para dividir quantidades, pense imediatamente em MDC. Use o algoritmo de Euclides: faça divisões sucessivas até a sobra ser zero — é rápido e cabe na folha de rascunho. Respira fundo, faz os passos e pronto!

Resposta

22

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