- Na festa de São Cosme e Damião é tradição na Bahia distribuir doces para as crianças. Tia Nástacia como é conhecida a senhora que faz isso há trinta anos em frente à Igreja do Senhor do Bonfim comprou 140 balas de banana, 120 paçoquinha, 100 chicletes de morango e 80 cocadas. Agora ela precisa da nossa ajuda, pois deve fazer pacotinhos, sendo que cada um deles deve conter apenas um tipo de doce, porém todos com o mesmo número de itens e na maior quantidade possível. Sabendo que todos os doces devem ser utilizados, o número total de pacotinhos será de:
A. 20.
B. 19.
C. 42.
D. 51.
E. 22.
A. 20.
B. 19.
C. 42.
D. 51.
E. 22.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Quantidades de cada doce:
balas de banana, paçoquinhas, chicletes de morango e cocadas. - Condições dos pacotinhos:
- Cada pacotinho contém apenas um tipo de doce.
- Todos os pacotinhos têm o mesmo número de itens.
- Esse número de itens por pacotinho deve ser o maior possível.
- Todos os doces devem ser utilizados (nenhum sobra).
- O que o enunciado pergunta: qual é o número total de pacotinhos que serão feitos?
Passo 2
Qual é a ideia para resolver? Precisamos encontrar o maior número de itens por pacotinho que divide exatamente cada uma das quantidades dadas (para não sobrar nada). Esse maior número é o maior divisor comum das quatro quantidades. Explicando de forma bem didática:
- Definição intuitiva: o maior divisor comum (MDC, ou gcd em inglês) de um conjunto de números é o maior número inteiro maior que zero que divide todos eles sem resto.
- Por que isso resolve o problema: se cada pacotinho tem
itens e divide todas as quantidades, então podemos formar pacotinhos de cada tipo sem sobra. Para que o número de itens por pacotinho seja o maior possível, deve ser o MDC das quantidades.
Agora vou calcular o MDC passo a passo usando o método clássico (algoritmo de Euclides), que é rápido de fazer na prova.
Passo 3
Calcular o MDC de
e
usando o algoritmo de Euclides:
Como a última sobra não nula foi
, temos
Passo 4
Agora incorporar as outras quantidades. Calcular
:
Logo
Em seguida calcular
:
Logo
Portanto o maior número de itens por pacotinho possível que divide todas as quantidades é
.
Passo 5
Com
itens por pacotinho, calculo quantos pacotinhos saem no total somando todas as unidades e dividindo por
. Primeiro a soma:
Agora divido:
Passo 6
Dicas rápidas para a prova (meu tom de amigo aqui): quando pedirem “maior número possível” para dividir quantidades, pense imediatamente em MDC. Use o algoritmo de Euclides: faça divisões sucessivas até a sobra ser zero — é rápido e cabe na folha de rascunho. Respira fundo, faz os passos e pronto!