fique com o centro no ponto
, precisamos executar uma mudança de coordenadas dada por
Determine
e
.
Dicas:
- Denote o centro da elipse original por
.
- Denote o novo centro por
.
- Use as coordenadas do vetor
, que começa em
e termina em
, para realizar a transformação.
Dicas:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação de uma elipse:
Queremos mudar as coordenadas para que o centro dessa elipse fique no ponto
. Para isso, vamos usar uma transformação de coordenadas onde:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
que fazem essa mudança. Para resolver isso, vamos precisar entender como determinar o centro de uma elipse e como aplicar a transformação de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o centro da elipse original, que vamos chamar de
. Para isso, vamos completar o quadrado nas variáveis
e
na equação da elipse.
A equação dada é:
Vamos reorganizar os termos:
Agora, completamos o quadrado para
e
separadamente.
Passo 3
Primeiro, para a variável
:
Calculamos o termo que completa o quadrado:
Fazemos o mesmo para a variável
:
Completa o quadrado:
Passo 4
Depois de completar os quadrados, reescrevemos a equação da elipse na forma canônica e identificamos o centro
.
Após os cálculos, descobrimos que o centro da elipse original
está nas coordenadas
.
Passo 5
Queremos que, após a mudança de coordenadas, o novo centro
seja
. A transformação é dada por:
Isso significa que o vetor
que vai de
para
é
.
Passo 6
Calculamos os valores de
e
a partir do vetor
:
Substituindo os valores de
e
, encontramos
e
.
Resposta
Os valores de
e
são:
Portanto,
e
.