fique com o centro no ponto
, precisamos executar uma mudança de coordenadas dada por
Determine
e
.
Dicas:
- Denote o centro da hipérbole original por
.
- Denote o novo centro por
.
- Use as coordenadas do vetor
, que começa em
e termina em
, para realizar a transformação.
Dicas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação quadrática:
E o objetivo é mudar as coordenadas para que o centro dessa curva fique no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como completar o quadrado e mudança de coordenadas. Precisamos descobrir os valores de
e
na transformação:
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o centro da hipérbole original. Para isso, a gente completa o quadrado para as variáveis
e
.
Começando com a equação original:
Vamos agrupar os termos de
e de
:
Agora, completamos o quadrado para cada parte.
Para o
:
Multiplicando por
:
Para o
:
Multiplicando por
:
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Isolando os termos quadráticos:
Dividindo tudo por 100 para simplificar:
Agora, a forma padrão da equação de uma hipérbole centralizada é:
Comparando com a nossa equação, identificamos que o centro
da hipérbole original é
.
Passo 3
Queremos mudar as coordenadas para que o novo centro
seja
. Para isso, usamos a transformação dada:
Segundo as dicas, o vetor
vai de
até
. Vamos encontrar as componentes desse vetor:
Isso significa que:
Resposta
Os valores são
e
.