-4 x^2-48 x+25 y^2-50 y-219=0
fique com o centro no ponto (-12,2), precisamos executar uma mudança de coordenadas dada por
l x=x^prime-a y=y^prime-b
Determine a e b.
Dicas:
  1. Denote o centro da hipérbole original por A.
  2. Denote o novo centro por B.
  3. Use as coordenadas do vetor v, que começa em A e termina em B, para realizar a transformação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação quadrática:
-4 x^2-48 x+25 y^2-50 y-219=0
E o objetivo é mudar as coordenadas para que o centro dessa curva fique no ponto l x = x - a y = y - b . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como completar o quadrado e mudança de coordenadas. Precisamos descobrir os valores de e na transformação:

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro da hipérbole original. Para isso, a gente completa o quadrado para as variáveis -4 x^2-48 x+25 y^2-50 y-219=0 e -4(x^2 + 12x) +25(y^2 - 2y) = 219 .
Começando com a equação original:
x^2 + 12x = (x + 6)^2 - 36
Vamos agrupar os termos de -4[(x + 6)^2 - 36] = -4(x + 6)^2 + 144 e de y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1 :
25[(y - 1)^2 - 1] = 25(y - 1)^2 - 25
Agora, completamos o quadrado para cada parte.
Para o -4(x + 6)^2 + 144 +25(y - 1)^2 -25 = 219 :
-4(x + 6)^2 +25(y - 1)^2 +119 = 219
Multiplicando por -4(x + 6)^2 +25(y - 1)^2 = 100 :
-(x + 6)^225 + (y - 1)^24 = 1
Para o (y - k)^2b^2 - (x - h)^2a^2 = 1 :
Multiplicando por :
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Isolando os termos quadráticos:
Dividindo tudo por 100 para simplificar:
Agora, a forma padrão da equação de uma hipérbole centralizada é:
Comparando com a nossa equação, identificamos que o centro da hipérbole original é .

Passo 3

Queremos mudar as coordenadas para que o novo centro l x = x - a y = y - b seja v = (xB - xA, yB - yA) = (-12 - (-6), 2 - 1) = (-6, 1) . Para isso, usamos a transformação dada:
a = -6 e b = 1
Segundo as dicas, o vetor vai de até . Vamos encontrar as componentes desse vetor:
Isso significa que:

Resposta

Os valores são e .

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