29-34 Find the area of the region that lies inside both curves.
29. r=raiz3 cos theta, r=sin theta
30. r=1+cos theta, r=1-cos theta
31. r=sin 2 theta, r=cos 2 theta
32. r=3+2 cos theta, r=3+2 sin theta

Passo 1

O enunciado nos pede a área da região que está dentro de duas curvas dadas em coordenadas polares. O método geral é:
  1. Encontrar os ângulos de interseção theta1,theta2 resolvendo r1(theta)=r2(theta).
  2. Determinar em cada intervalo qual das duas curvas fornece o menor valor de r, pois a região comum é limitada por r=min(r1,r2).
  3. Calcular a área pela fórmula
A=12integraltheta1^theta2 l(min(r1(theta),r2(theta))r)^2,dtheta
e somar, se necessário, contribuições de intervalos distintos.

Passo 2

(Exercício 29) r1=raiz3costheta e r2=sintheta.
  1. Interseção:
raiz3costheta=sintheta Longrightarrow tantheta=raiz3 Longrightarrow theta=pi3
no intervalo [0,pi/2].
2. Para 0<=theta<=pi/3 temos sintheta<raiz3costheta, logo o raio interno é r2. Para pi/3<=theta<=pi/2 vale raiz3costheta<sintheta, logo o raio interno é r1.
3. A área comum é
A29 =12integral0^pi/3sin^2theta,dtheta +12integralpi/3^pi/23cos^2theta,dtheta
Calculando as integrais (usando identidades de sin^2 e cos^2) chega-se a
A29 =5pi24-raiz34

Passo 3

(Exercício 30) r1=1+costheta e r2=1-costheta.
  1. Interseção:
1+costheta=1-costheta Longrightarrow costheta=0 Longrightarrow theta=pi2,;3pi2
  1. Para -tfracpi2<=theta<=tfracpi2 temos costheta>=0 então r1>= r2, o raio interno é r2. Para tfracpi2<=theta<=tfrac3pi2 vale costheta<=0 então r2>= r1, o raio interno é r1.
  2. Pela simetria, a área comum é
A30 =2cdot12integral-pi/2^pi/2(1-costheta)^2,dtheta =integral-pi/2^pi/2(1-2costheta+cos^2theta),dtheta = 3pi2-4

Passo 4

(Exercício 31) r1=sin2theta e r2=cos2theta.
  1. Interseção:
sin2theta=cos2theta Longrightarrow tan2theta=1 Longrightarrow theta=pi8+kpi2
  1. Ambas são positivas simultaneamente em dois arcos de comprimento pi/4. Num desses arcos (por exemplo 0<=theta<=pi/4) temos r1<r2 para 0<=theta<=pi/8 e r2<r1 para pi/8<=theta<=pi/4.
  2. A área em um arco é
12integral0^pi/8sin^2(2theta),dtheta +12integralpi/8^pi/4cos^2(2theta),dtheta =pi8-14
Como há dois arcos iguais,
A31 =2l(pi8-14r) =pi4-12

Passo 5

(Exercício 32) r1=3+2costheta e r2=3+2sintheta.
  1. Interseção:
3+2costheta=3+2sintheta Longrightarrow sintheta=costheta Longrightarrow theta=pi4,;5pi4
  1. Para pi/4<=theta<=5pi/4 verifica-se 3+2costheta<=3+2sintheta, logo o raio interno é r1.
  2. A área comum é
A32 =12integralpi/4^5pi/4(3+2costheta)^2,dtheta =11pi-12raiz22

Resposta

  1. 5pi24-raiz34
  2. 3pi2-4
  3. pi4-12
  4. 11pi-12raiz22

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