29-34 Find the area of the region that lies inside both curves.
29.
30.
31.
32.
29.
30.
31.
32.
Passo 1
O enunciado nos pede a área da região que está dentro de duas curvas dadas em coordenadas polares. O método geral é:
- Encontrar os ângulos de interseção
resolvendo . - Determinar em cada intervalo qual das duas curvas fornece o menor valor de
, pois a região comum é limitada por . - Calcular a área pela fórmula
e somar, se necessário, contribuições de intervalos distintos.
Passo 2
(Exercício 29)
e
.
- Interseção:
no intervalo
.
2. Para temos
, logo o raio interno é
. Para
vale
, logo o raio interno é
.
3. A área comum é
2. Para
3. A área comum é
Calculando as integrais (usando identidades de
e
) chega-se a
Passo 3
(Exercício 30)
e
.
- Interseção:
- Para
temos então , o raio interno é . Para vale então , o raio interno é . - Pela simetria, a área comum é
Passo 4
(Exercício 31)
e
.
- Interseção:
- Ambas são positivas simultaneamente em dois arcos de comprimento
. Num desses arcos (por exemplo ) temos para e para . - A área em um arco é
Como há dois arcos iguais,
Passo 5
(Exercício 32)
e
.
- Interseção:
- Para
verifica-se , logo o raio interno é . - A área comum é