Verifique se as EDO’s abaixo são do tipo Bernoulli; em caso afirmativo, resolva a EDO.
y^prime+yx=raizy

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
y' + yx = raizy
e pede para verificar se ela é do tipo de Bernoulli e, em caso afirmativo, resolvê-la. Uma EDO de Bernoulli tem a forma
y' + P(x),y = Q(x),y^n
Aqui vamos identificar P(x), Q(x) e o expoente n, e depois aplicar a transformação padrão para esse tipo.

Passo 2

Comparando com
y' + P(x),y = Q(x),y^n,
vemos que
P(x) = 1x, Q(x) = 1, n = tfrac12
Portanto, é de fato uma Bernoulli com n=tfrac12.

Passo 3

Na técnica de Bernoulli usamos a substituição
z = y^1-n = y^1-tfrac12 = y^tfrac12
Daí y = z^2 e
y' = 2,z,z'
Substituindo em
y' + yx = raizy
fica
2,z,z' + z^2x = z
Dividindo tudo por 2z (supondo zneq0) obtemos a EDO linear em z:
z' + 12x,z = 12

Passo 4

Para resolver
z' + 12x,z = 12
calculamos o fator integrante
mu(x) = exp!l(!integral 12x,dxr) = x^tfrac12
Multiplicando a EDO por mu(x):
x^tfrac12 z' + 12x^-tfrac12z = 12,x^tfrac12,
que é
ddxl(x^tfrac12zr) = 12,x^tfrac12
Integrando em x:
x^tfrac12z = integral 12,x^tfrac12,dx + C = x^tfrac323 + C
Logo
z = x^tfrac323,x^tfrac12 + C,x^-tfrac12 = x3 + C,x^-tfrac12

Passo 5

Voltando a y pela relação z=raizy, temos
raizy = x3 + C,x^-tfrac12,
portanto a solução geral é
y = l(x3 + C,x^-tfrac12r)^2,
onde C é a constante de integração.

Resposta

boxedy(x) = l(x3 + C,x^-tfrac12r)^2, CinR

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