29 Um bastão de vidro é medido usando uma trena de metal a 30^{\circ} \mathrm{C} e seu comprimento é de 100 cm . Sabe-se que a trena foi calibrada a 0^{\circ} \mathrm{C}. Encontre o comprimento verdadeiro do bastão de vidro a:
a) 30^{\circ} \mathrm{C}
b) 0^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
  • Informação: a trena de metal foi calibrada a 0^\circ\mathrm{C}.
  • Informação: a medição do bastão de vidro foi feita a 30^\circ\mathrm{C} e a leitura da trena foi 100 cm (ou seja, a trena marcou 100 unidades de centímetro).
  • Pedido (a): encontrar o comprimento verdadeiro do bastão de vidro à temperatura de 30^\circ\mathrm{C}.
  • Pedido (b): encontrar o comprimento verdadeiro do bastão de vidro à temperatura de 0^\circ\mathrm{C}.
Observação: não foi dado no enunciado o coeficiente de dilatação linear dos materiais; na resolução vou primeiro apresentar as fórmulas gerais em termos desses coeficientes e depois usar valores típicos para obter números concretos (isto é necessário para produzir respostas numéricas).

Passo 2

Conceito e fórmula fundamental (aula rápida e clara). A dilatação linear de um corpo quando a temperatura varia é dada por
L(T)=L_0\bigl(1+\alpha\,\Delta T\bigr),
onde:
  • L(T) é o comprimento na temperatura T;
  • L_0 é o comprimento na temperatura de referência (aqui usaremos a referência 0^\circ\mathrm{C} quando for o caso);
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear do material (unidade: ^\circ\mathrm{C}^{-1});
  • \Delta T é a variação de temperatura em relação à temperatura de referência, ou seja \Delta T = T - T_{\text{ref}}.
Explicando de forma bem prática: se a trena foi calibrada a 0^\circ\mathrm{C}, cada “1 cm” marcado na trena corresponde a exatamente 1 cm àquela temperatura. Se a trena estiver a 30^\circ\mathrm{C}, cada marca de “1 cm” terá crescido e passará a medir realmente 1+\alpha_{\text{trena}}\cdot 30 cm no espaço real.

Passo 3

Relação entre a leitura da trena e o comprimento real do bastão a 30^\circ\mathrm{C}.
Se a trena marca 100 cm a 30^\circ\mathrm{C}, então o comprimento real do bastão a 30^\circ\mathrm{C} é
L_{\text{vidro}}(30)=100\cdot\bigl(1+\alpha_{\text{trena}}\cdot 30\bigr),
porque cada centímetro marcado na trena vale \bigl(1+\alpha_{\text{trena}}\cdot 30\bigr) cm reais.
Aqui \alpha_{\text{trena}} é o coeficiente de dilatação linear do metal da trena (vou notar também como \alpha_m). A partir daqui chamarei o coeficiente do vidro de \alpha_g.

Passo 4

Relação entre o comprimento do bastão a 30^\circ\mathrm{C} e a 0^\circ\mathrm{C}.
Pelo mesmo princípio da dilatação linear, o comprimento do bastão a 30^\circ\mathrm{C} e a 0^\circ\mathrm{C} estão ligados por
L_{\text{vidro}}(30)=L_{\text{vidro}}(0)\bigl(1+\alpha_g\cdot 30\bigr).
Isolando L_{\text{vidro}}(0) obtemos a expressão exata em termos das grandezas conhecidas:
L_{\text{vidro}}(0)=\frac{L_{\text{vidro}}(30)}{1+\alpha_g\cdot 30}.
Substituindo L_{\text{vidro}}(30) da expressão do Passo 3:
L_{\text{vidro}}(0)=\frac{100\bigl(1+\alpha_m\cdot 30\bigr)}{1+\alpha_g\cdot 30}.
Essas duas fórmulas acima são as respostas simbólicas corretas (sem assumir valores numéricos):
\text{(a) }L_{\text{vidro}}(30)=100\bigl(1+\alpha_m\cdot 30\bigr), \qquad \text{(b) }L_{\text{vidro}}(0)=\frac{100\bigl(1+\alpha_m\cdot 30\bigr)}{1+\alpha_g\cdot 30}.

Passo 5

Aproximação prática para pequenos coeficientes (intuição para a prova). Normalmente \alpha_m e \alpha_g são da ordem de 10^{-6} a 10^{-5}, e \alpha\Delta T é pequeno (aqui \Delta T=30^\circ\mathrm{C}). Podemos usar a aproximação
\frac{1+\alpha_m\Delta T}{1+\alpha_g\Delta T}\approx 1+(\alpha_m-\alpha_g)\Delta T,
que vem de (1+x)/(1+y)\approx 1+(x-y) para x,y\ll 1. Isso reduz as contas na prova sem perda prática de precisão quando os coeficientes são pequenos.
Aplicando isso ao caso, obtemos a aproximação conveniente:
L_{\text{vidro}}(0)\approx 100\bigl[1+(\alpha_m-\alpha_g)\cdot 30\bigr].

Passo 6

Para dar números finais precisamos de valores numéricos para \alpha_m e \alpha_g. Como o enunciado não os fornece, uso valores típicos padrão (muito usados em problemas):
\alpha_m=11\times 10^{-6}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}\quad(\text{aço/metal da trena}), \qquad \alpha_g=9\times 10^{-6}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}\quad(\text{vidro comum}).ç
Se o seu professor usar outros valores, basta substituir nas fórmulas do Passo 4.

Passo 7

Cálculo numérico do comprimento verdadeiro a 30^\circ\mathrm{C}.
Calcule o fator de expansão da trena:
1+\alpha_m\cdot 30 = 1 + 11\times10^{-6}\cdot 30 = 1 + 330\times10^{-6} = 1{,}00033.
Logo
L_{\text{vidro}}(30)=100\cdot 1{,}00033 = 100{,}033\\ \mathrm{cm}.
Interpretação curta: a trena cresceu um pouquinho, então cada centímetro marcado vale um pouco mais que 1 cm real; por isso o comprimento verdadeiro a 30^\circ\mathrm{C} é 100{,}033\\ \mathrm{cm}.

Passo 8

Cálculo numérico do comprimento verdadeiro a 0^\circ\mathrm{C}.
Usando a fórmula exata do Passo 4 e o \alpha_g escolhido:
1+\alpha_g\cdot 30 = 1 + 9\times10^{-6}\cdot 30 = 1 + 270\times10^{-6} = 1{,}00027.
Então
L_{\text{vidro}}(0)=\frac{100{,}033}{1{,}00027}.
Fazendo a divisão (ou usando a aproximação do Passo 5: 100[1+(11-9)\times10^{-6}\cdot30]) obtemos
L_{\text{vidro}}(0)\approx 100{,}006\\ \mathrm{cm}.
Verificando com a aproximação: (\alpha_m-\alpha_g)\cdot 30=(2\times10^{-6})\cdot 30=60\times10^{-6}, logo 100[1+60\times10^{-6}]=100{,}006\\ \mathrm{cm}, que coincide com a divisão exata dentro da precisão mostrada.

Passo 9

Resumo final e motivação rápida: a diferença é muito pequena porque os coeficientes são pequenos e a temperatura só mudou 30^\circ\mathrm{C}. O procedimento que você deve lembrar para a prova é:
  • converter a leitura da trena em comprimento real usando a dilatação da trena;
  • relacionar os comprimentos do bastão nas duas temperaturas usando a dilatação do vidro;
  • resolver algebricamente para obter o comprimento desejado.
Vai dar certo na prova — respira fundo e confia no passo a passo!

Resposta

a) 100{,}033\\ \mathrm{cm}\n
b) 100{,}006\\ \mathrm{cm}

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