29 Um bastão de vidro é medido usando uma trena de metal a
e seu comprimento é de 100 cm . Sabe-se que a trena foi calibrada a
. Encontre o comprimento verdadeiro do bastão de vidro a:
a)
b)
a)
b)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
- Informação: a trena de metal foi calibrada a
. - Informação: a medição do bastão de vidro foi feita a
e a leitura da trena foi cm (ou seja, a trena marcou unidades de centímetro). - Pedido (a): encontrar o comprimento verdadeiro do bastão de vidro à temperatura de
. - Pedido (b): encontrar o comprimento verdadeiro do bastão de vidro à temperatura de
.
Observação: não foi dado no enunciado o coeficiente de dilatação linear dos materiais; na resolução vou primeiro apresentar as fórmulas gerais em termos desses coeficientes e depois usar valores típicos para obter números concretos (isto é necessário para produzir respostas numéricas).
Passo 2
Conceito e fórmula fundamental (aula rápida e clara). A dilatação linear de um corpo quando a temperatura varia é dada por
onde:
-
é o comprimento na temperatura ; -
é o comprimento na temperatura de referência (aqui usaremos a referência quando for o caso); -
é o coeficiente de dilatação linear do material (unidade: ); -
é a variação de temperatura em relação à temperatura de referência, ou seja .
Explicando de forma bem prática: se a trena foi calibrada a
, cada “1 cm” marcado na trena corresponde a exatamente
cm àquela temperatura. Se a trena estiver a
, cada marca de “1 cm” terá crescido e passará a medir realmente
cm no espaço real.
Passo 3
Relação entre a leitura da trena e o comprimento real do bastão a
.
Se a trena marca
cm a
, então o comprimento real do bastão a
é
porque cada centímetro marcado na trena vale
cm reais.
Aqui
é o coeficiente de dilatação linear do metal da trena (vou notar também como
). A partir daqui chamarei o coeficiente do vidro de
.
Passo 4
Relação entre o comprimento do bastão a
e a
.
Pelo mesmo princípio da dilatação linear, o comprimento do bastão a
e a
estão ligados por
Isolando
obtemos a expressão exata em termos das grandezas conhecidas:
Substituindo
da expressão do Passo 3:
Essas duas fórmulas acima são as respostas simbólicas corretas (sem assumir valores numéricos):
Passo 5
Aproximação prática para pequenos coeficientes (intuição para a prova). Normalmente
e
são da ordem de
a
, e
é pequeno (aqui
). Podemos usar a aproximação
que vem de
para
. Isso reduz as contas na prova sem perda prática de precisão quando os coeficientes são pequenos.
Aplicando isso ao caso, obtemos a aproximação conveniente:
Passo 6
Para dar números finais precisamos de valores numéricos para
e
. Como o enunciado não os fornece, uso valores típicos padrão (muito usados em problemas):
Se o seu professor usar outros valores, basta substituir nas fórmulas do Passo 4.
Passo 7
Cálculo numérico do comprimento verdadeiro a
.
Calcule o fator de expansão da trena:
Logo
Interpretação curta: a trena cresceu um pouquinho, então cada centímetro marcado vale um pouco mais que
cm real; por isso o comprimento verdadeiro a
é
.
Passo 8
Cálculo numérico do comprimento verdadeiro a
.
Usando a fórmula exata do Passo 4 e o
escolhido:
Então
Fazendo a divisão (ou usando a aproximação do Passo 5:
) obtemos
Verificando com a aproximação:
, logo
, que coincide com a divisão exata dentro da precisão mostrada.
Passo 9
Resumo final e motivação rápida: a diferença é muito pequena porque os coeficientes são pequenos e a temperatura só mudou
. O procedimento que você deve lembrar para a prova é:
- converter a leitura da trena em comprimento real usando a dilatação da trena;
- relacionar os comprimentos do bastão nas duas temperaturas usando a dilatação do vidro;
- resolver algebricamente para obter o comprimento desejado.
Vai dar certo na prova — respira fundo e confia no passo a passo!
Resposta
a)
\n
b)
b)