30 A medida de uma barra retilínea é de
quando feita por uma régua de latão em um local cuja temperatura é de
. Quando a, medida é realizada em um local cuja temperatura é de
, o valor lido é
. Qual será a leitura de comprimento da barra a
, medida pela mesma régua, se esta permanecer a
? Considere que o coeficiente de dilatação linear do latão vale
.
Passo 1
Vamos entender direitinho o que o enunciado dá e o que ele pede, desenrolando cada informação:
- Foi medida uma barra com uma régua de latão a
e a leitura foi . Logo o comprimento da barra à temperatura de referência é
- Quando a medida é feita num local a
(ou seja, barra e régua a ), a leitura obtida é . - O coeficiente de dilatação linear do latão (da régua) é dado por
- Pergunta: qual será a leitura (o número mostrado pela régua) da mesma barra quando a barra estiver a
, mas a régua permanecer a ?
Observação: o enunciado não dá o coeficiente de dilatação da barra, mas podemos obtê-lo usando a leitura quando ambos estão a.
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula básica da dilatação linear e o que cada coisa significa. Para um corpo de comprimento inicial
à temperatura inicial, seu comprimento
quando a temperatura muda em
é
onde:
-
é o coeficiente de dilatação linear do material (unidade ), -
é a variação de temperatura (em ), -
é o comprimento na temperatura de referência.
No nosso caso usaremos essa fórmula tanto para a barra (com coeficiente) quanto para a régua (com coeficiente ).
Passo 3
Como funcionam as leituras quando a régua e a barra estão a temperaturas possivelmente diferentes?
Se a barra tem comprimento real e cada “metro” da régua tem comprimento real
, a leitura (em metros desse padrão inicial) é
Se a barra tem comprimento real
No nosso problema, a régua foi calibrada a
de modo que
. Quando a régua está a uma temperatura
, seu “metro” vale
Analogamente, o comprimento da barra a
é
Quando ambos estão a
o enunciado diz que a leitura foi
. Substituindo:
Sabemos
e
. Vamos usar essa equação para achar
.
Passo 4
Calcule primeiro o fator de dilatação da régua a
:
Agora escrevemos a equação com números:
Isolando
:
Calcule passo a passo:
então
Logo
e, portanto,
Interpretando: o coeficiente de dilatação da barra é
.
Passo 5
Agora queremos a leitura quando a barra está a
(logo seu comprimento real
é maior) e a régua permanece a
(logo cada metro da régua continua valendo exatamente
). Nesse caso a leitura é simplesmente o comprimento real da barra a
expresso em metros da régua original:
Substituindo
e
:
Calcule o produto:
logo
Passo 6
Interpretação e arredondamento final: a leitura que a régua fixa a
vai mostrar é
. Em notação com duas casas decimais (consistente com os dados iniciais) isso fica
. Vai aparecer cerca de
a mais do que a leitura original de
. Você consegue! Só lembrar de usar a fórmula da dilatação e pensar em “comprimento real dividido pelo tamanho do metro da régua” quando as temperaturas diferem.