30 A medida de uma barra retilínea é de 100,00 \mathrm{~m} quando feita por uma régua de latão em um local cuja temperatura é de 0^{\circ} \mathrm{C}. Quando a, medida é realizada em um local cuja temperatura é de 50^{\circ} \mathrm{C}, o valor lido é 100,10 \mathrm{~m}. Qual será a leitura de comprimento da barra a 50^{\circ} \mathrm{C}, medida pela mesma régua, se esta permanecer a 0^{\circ} \mathrm{C} ? Considere que o coeficiente de dilatação linear do latão vale 2,0.10^{-5}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}.

Passo 1

Vamos entender direitinho o que o enunciado dá e o que ele pede, desenrolando cada informação:
  • Foi medida uma barra com uma régua de latão a 0^\circ\mathrm{C} e a leitura foi \,100,00\\ \mathrm{m}. Logo o comprimento da barra à temperatura de referência 0^\circ\mathrm{C} é
L_{b0}=100,00\\ \mathrm{m}.
  • Quando a medida é feita num local a 50^\circ\mathrm{C} (ou seja, barra e régua a 50^\circ\mathrm{C}), a leitura obtida é \,100,10\\ \mathrm{m}.
  • O coeficiente de dilatação linear do latão (da régua) é dado por
\alpha_{\text{latão}}=2{,}0\times 10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.ã
  • Pergunta: qual será a leitura (o número mostrado pela régua) da mesma barra quando a barra estiver a 50^\circ\mathrm{C}, mas a régua permanecer a 0^\circ\mathrm{C}?
    Observação: o enunciado não dá o coeficiente de dilatação da barra, mas podemos obtê-lo usando a leitura quando ambos estão a 50^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula básica da dilatação linear e o que cada coisa significa. Para um corpo de comprimento inicial L_0 à temperatura inicial, seu comprimento L quando a temperatura muda em \Delta T é
L = L_0\,(1+\alpha\,\Delta T),
onde:
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear do material (unidade ^\circ\mathrm{C}^{-1}),
  • \Delta T é a variação de temperatura (em ^\circ\mathrm{C}),
  • L_0 é o comprimento na temperatura de referência.
    No nosso caso usaremos essa fórmula tanto para a barra (com coeficiente \alpha_b) quanto para a régua (com coeficiente \alpha_{\text{latão}}ã).

Passo 3

Como funcionam as leituras quando a régua e a barra estão a temperaturas possivelmente diferentes?
Se a barra tem comprimento real L_b(T_b) e cada “metro” da régua tem comprimento real u_r(T_r), a leitura (em metros desse padrão inicial) é
\text{leitura}=\frac{L_b(T_b)}{u_r(T_r)}.
No nosso problema, a régua foi calibrada a 0^\circ\mathrm{C} de modo que u_r(0^\circ\mathrm{C})=1\\ \mathrm{m}. Quando a régua está a uma temperatura T_r, seu “metro” vale
u_r(T_r)=1\,(1+\alpha_{\text{latão}}(T_r-0)).ã
Analogamente, o comprimento da barra a T_b é
L_b(T_b)=L_{b0}\,(1+\alpha_b(T_b-0)).
Quando ambos estão a 50^\circ\mathrm{C} o enunciado diz que a leitura foi 100,10\\ \mathrm{m}. Substituindo:
100{,}10=\frac{L_{b0}\,(1+\alpha_b\cdot 50)}{1+\alpha_{\text{latão}}\cdot 50}.ã
Sabemos L_{b0}=100{,}00\\ \mathrm{m} e \alpha_{\text{latão}}=2{,}0\times10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}ã. Vamos usar essa equação para achar \alpha_b.

Passo 4

Calcule primeiro o fator de dilatação da régua a 50^\circ\mathrm{C}:
1+\alpha_{\text{latão}}\cdot 50 = 1 + (2{,}0\times 10^{-5})\cdot 50 = 1 + 0{,}001 = 1{,}001.ã
Agora escrevemos a equação com números:
100{,}10 = \frac{100{,}00\,(1+\alpha_b\cdot 50)}{1{,}001}.
Isolando 1+\alpha_b\cdot 50:
1+\alpha_b\cdot 50 = \frac{100{,}10}{100{,}00}\times 1{,}001.
Calcule passo a passo:
\frac{100{,}10}{100{,}00}=1{,}001
então
1+\alpha_b\cdot 50 = 1{,}001\times 1{,}001 = 1{,}002001.
Logo
\alpha_b\cdot 50 = 1{,}002001-1 = 0{,}002001
e, portanto,
\alpha_b = \frac{0{,}002001}{50} = 4{,}002\times 10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
Interpretando: o coeficiente de dilatação da barra é \alpha_b\approx 4{,}002\times10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.

Passo 5

Agora queremos a leitura quando a barra está a 50^\circ\mathrm{C} (logo seu comprimento real L_b(50) é maior) e a régua permanece a 0^\circ\mathrm{C} (logo cada metro da régua continua valendo exatamente 1\\ \mathrm{m}). Nesse caso a leitura é simplesmente o comprimento real da barra a 50^\circ\mathrm{C} expresso em metros da régua original:
\text{leitura} = L_b(50) = L_{b0}\,(1+\alpha_b\cdot 50).
Substituindo L_{b0}=100{,}00\\ \mathrm{m} e \alpha_b=4{,}002\times10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}:
L_b(50)=100{,}00\,(1+4{,}002\times10^{-5}\cdot 50).
Calcule o produto:
4{,}002\times10^{-5}\cdot 50 = 0{,}002001,
logo
L_b(50)=100{,}00\,(1+0{,}002001)=100{,}00\times 1{,}002001 = 100{,}2001\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Interpretação e arredondamento final: a leitura que a régua fixa a 0^\circ\mathrm{C} vai mostrar é \,100{,}2001\\ \mathrm{m}. Em notação com duas casas decimais (consistente com os dados iniciais) isso fica 100{,}20\\ \mathrm{m}. Vai aparecer cerca de 0{,}200\\ \mathrm{m} a mais do que a leitura original de 100{,}00\\ \mathrm{m}. Você consegue! Só lembrar de usar a fórmula da dilatação e pensar em “comprimento real dividido pelo tamanho do metro da régua” quando as temperaturas diferem.

Resposta

100{,}2001\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados