32 Uma barra é composta de dois segmentos de igual comprimento L . Ambos os segmentos são feitos de mesmo material, mas o segmento OB tem o dobro da área de secção de AO. A barra é mantida sobre uma superfície horizontal lisa com a junção " O " inicialmente na origem do sistema de coordenadas mostrado. Se a temperatura da barra como um todo aumenta em
, determine a coordenada de junção após o aquecimento. O coeficiente de dilatação linear do material é
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Dois segmentos da mesma barra têm comprimento inicial
cada um. - Ambos são do mesmo material, portanto mesma densidade
e mesmo coeficiente de dilatação linear . - A área da seção do segmento
é o dobro da área da seção do segmento . Vou chamar e . - A barra está apoiada sobre uma superfície horizontal lisa (sem atrito) e a junção
está inicialmente na origem do eixo , ou seja . - A temperatura aumenta em
de forma uniforme em toda a barra.
O que se pede:
- Determinar a coordenada final da junção
após o aquecimento (isto é, encontrar depois que a temperatura subiu ).
Passo 2
Conceitos importantes (explicados devagar e com motivação):
- Quando não há forças externas horizontais (superfície lisa sem atrito), a posição do centro de massa do sistema não pode mudar por efeito interno: a força resultante externa na direção
é nula, logo o centro de massa permanece na mesma coordenada . - A massa linear (massa por comprimento) de cada segmento é proporcional à sua área de seção transversal, porque o material e a densidade
são os mesmos. Então tomo
- Inicialmente o segmento
ocupa de até e de até . A massa de cada segmento é e .
Vamos calcular a posição inicial do centro de massa
.
Passo 3
Cálculo do centro de massa inicial:
- O centro de massa do segmento
(reta uniformemente densa) está no seu meio, em
- O centro de massa do segmento
está em
- O centro de massa total inicial é
Agora simplifico passo a passo:
Portanto inicialmente o centro de massa está em
.
Passo 4
Posição após aquecimento — escrever incógnita e usar conservação do centro de massa:
- Ao aquecer, cada segmento sofre dilatação linear. A fórmula básica da dilatação linear é: novo comprimento
comprimento inicial . Ou seja,
Ambos os segmentos têm o mesmo
e o mesmo comprimento inicial, portanto ambos ficam com comprimento
.
- As massas dos segmentos não mudam (só mudam as posições dos seus pontos). Seja
a coordenada final da junção após o aquecimento (essa é a incógnita que queremos). - O centro de massa do segmento
fica em
e o do segmento
fica em
- O centro de massa total final é então
Simplifico o numerador:
Dividindo por
dá
Passo 5
Impor conservação do centro de massa e resolver para
:
- Como não há força horizontal externa, o centro de massa não se desloca:
. Logo
- Substituo
e resolvo para :
Portanto a junção
move-se na direção negativa de
(para a esquerda) uma distância
.