32 Uma barra é composta de dois segmentos de igual comprimento L . Ambos os segmentos são feitos de mesmo material, mas o segmento OB tem o dobro da área de secção de AO. A barra é mantida sobre uma superfície horizontal lisa com a junção " O " inicialmente na origem do sistema de coordenadas mostrado. Se a temperatura da barra como um todo aumenta em \Delta T, determine a coordenada de junção após o aquecimento. O coeficiente de dilatação linear do material é \alpha.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dois segmentos da mesma barra têm comprimento inicial \,L cada um.
  • Ambos são do mesmo material, portanto mesma densidade \rho e mesmo coeficiente de dilatação linear \alpha.
  • A área da seção do segmento OB é o dobro da área da seção do segmento AO. Vou chamar A_{AO}=A e A_{OB}=2A.
  • A barra está apoiada sobre uma superfície horizontal lisa (sem atrito) e a junção O está inicialmente na origem do eixo x, ou seja \,x_O(0)=0.
  • A temperatura aumenta em \Delta T de forma uniforme em toda a barra.
O que se pede:
  • Determinar a coordenada final da junção O após o aquecimento (isto é, encontrar x_O depois que a temperatura subiu \Delta T).

Passo 2

Conceitos importantes (explicados devagar e com motivação):
  • Quando não há forças externas horizontais (superfície lisa sem atrito), a posição do centro de massa do sistema não pode mudar por efeito interno: a força resultante externa na direção x é nula, logo o centro de massa permanece na mesma coordenada x.
  • A massa linear (massa por comprimento) de cada segmento é proporcional à sua área de seção transversal, porque o material e a densidade \rho são os mesmos. Então tomo
\lambda_{A}=\rho A\quad\text{(para AO)},\qquad \lambda_{B}=\rho(2A)=2\lambda_{A}\quad\text{(para OB)}.
  • Inicialmente o segmento AO ocupa de x=-L até x=0 e OB de x=0 até x=L. A massa de cada segmento é \,m_A=\lambda_A L e \,m_B=\lambda_B L=2\lambda_A L.
Vamos calcular a posição inicial do centro de massa \,x_{cm}^{(0)}.

Passo 3

Cálculo do centro de massa inicial:
  • O centro de massa do segmento AO (reta uniformemente densa) está no seu meio, em
x_{A,cm}^{(0)}=-\frac{L}{2}.
  • O centro de massa do segmento OB está em
x_{B,cm}^{(0)}=+\frac{L}{2}.
  • O centro de massa total inicial é
x_{cm}^{(0)}=\frac{m_A x_{A,cm}^{(0)}+m_B x_{B,cm}^{(0)}}{m_A+m_B} =\frac{\lambda_A L\left(-\dfrac{L}{2}\right)+2\lambda_A L\left(\dfrac{L}{2}\right)}{3\lambda_A L}.
Agora simplifico passo a passo:
\text{numerador}=\lambda_A L\left(-\frac{L}{2}+2\cdot\frac{L}{2}\right)=\lambda_A L\left(\frac{L}{2}\right)=\frac{\lambda_A L^2}{2},
x_{cm}^{(0)}=\frac{\dfrac{\lambda_A L^2}{2}}{3\lambda_A L}=\frac{L}{6}.
Portanto inicialmente o centro de massa está em \,x_{cm}^{(0)}=\dfrac{L}{6}.

Passo 4

Posição após aquecimento — escrever incógnita e usar conservação do centro de massa:
  • Ao aquecer, cada segmento sofre dilatação linear. A fórmula básica da dilatação linear é: novo comprimento = comprimento inicial \times(1+\alpha\Delta T). Ou seja,
L' = L(1+\alpha\Delta T).
Ambos os segmentos têm o mesmo \alpha e o mesmo comprimento inicial, portanto ambos ficam com comprimento \,L'.
  • As massas dos segmentos não mudam (só mudam as posições dos seus pontos). Seja x_O a coordenada final da junção O após o aquecimento (essa é a incógnita que queremos).
  • O centro de massa do segmento AO fica em
x_{A,cm}^{(f)}=x_O-\frac{L'}{2},
e o do segmento OB fica em
x_{B,cm}^{(f)}=x_O+\frac{L'}{2}.
  • O centro de massa total final é então
x_{cm}^{(f)}=\frac{m_A x_{A,cm}^{(f)}+m_B x_{B,cm}^{(f)}}{m_A+m_B} = \frac{\lambda_A L\left(x_O-\dfrac{L'}{2}\right)+2\lambda_A L\left(x_O+\dfrac{L'}{2}\right)}{3\lambda_A L}.
Simplifico o numerador:
\text{numerador}=3\lambda_A L\,x_O+\lambda_A L\left(-\frac{L'}{2}+L'\right) =3\lambda_A L\,x_O+\lambda_A L\left(\frac{L'}{2}\right).
Dividindo por 3\lambda_A L
x_{cm}^{(f)}=x_O+\frac{L'}{6}.

Passo 5

Impor conservação do centro de massa e resolver para x_O:
  • Como não há força horizontal externa, o centro de massa não se desloca: x_{cm}^{(f)}=x_{cm}^{(0)}. Logo
x_O+\frac{L'}{6}=\frac{L}{6}.
  • Substituo L'=L(1+\alpha\Delta T) e resolvo para x_O:
x_O=\frac{L}{6}-\frac{L'}{6}=\frac{L}{6}-\frac{L(1+\alpha\Delta T)}{6} =-\frac{L\alpha\Delta T}{6}.
Portanto a junção O move-se na direção negativa de x (para a esquerda) uma distância \dfrac{L\alpha\Delta T}{6}.

Resposta

-\dfrac{L\alpha\Delta T}{6}

Exercícios relacionados