27 Com uma régua metálica de coeficiente de dilatação linear 5.10^{-4}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} se realizam medições exatas a 10^{\circ} \mathrm{C}. Efetuando-se uma medida à temperatura de 30^{\circ} \mathrm{C}, obteremos uma leitura de 100 cm . Determine o comprimento correto da medida realizada.

Passo 1

O enunciado dá uma régua metálica que foi calibrada para medir corretamente a 10^\circ\mathrm{C}. Fornece o coeficiente de dilatação linear da régua e uma medida efetuada a 30^\circ\mathrm{C}. Pergunta: qual é o comprimento correto do objeto medido?
Dados fornecidos:
\alpha = 5\cdot 10^{-4}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}
T_0 = 10^\circ\mathrm{C}\quad(\text{temperatura de calibração})çã
T = 30^\circ\mathrm{C}\quad(\text{temperatura da medida})
\text{leitura no instrumento} = 100\\ \mathrm{cm}
Defina também a variação de temperatura:
\Delta T = T - T_0 = 30^\circ\mathrm{C}-10^\circ\mathrm{C}=20^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Entender a física por trás: a dilatação linear diz que um comprimento L_0 medido à temperatura T_0 passa a ter, à temperatura T,
L(T) = L_0\bigl(1+\alpha\,(T-T_0)\bigr).
Aqui:
  • L_0 é o comprimento à temperatura de referência T_0.
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear (unidade ^\circ\mathrm{C}^{-1}).
  • L(T) é o comprimento à temperatura T.
    Essa fórmula vale para pequenas variações de temperatura e é o modelo padrão para expansão térmica linear.

Passo 3

Aplicando a ideia à régua: cada “centímetro” marcado na régua foi feito para ter exatamente 1\\ \mathrm{cm} à T_0=10^\circ\mathrm{C}. À temperatura T=30^\circ\mathrm{C} cada uma dessas divisões ficou maior, valendo
\text{tamanho de 1 divisão a }T = 1\\ \mathrm{cm}\cdot\bigl(1+\alpha\Delta T\bigr).ã
Se a leitura indicada é 100\\ \mathrm{cm}, isso significa que o objeto ocupa 100 dessas divisões aumentadas. Portanto o comprimento real do objeto à temperatura de medição é
L = 100\cdot\bigl(1\\ \mathrm{cm}\bigr)\cdot\bigl(1+\alpha\Delta T\bigr).

Passo 4

Agora vamos calcular numericamente \alpha\Delta T. Substituindo \alpha=5\cdot10^{-4} e \Delta T=20:
\alpha\Delta T = 5\cdot 10^{-4}\times 20.
Faço a conta passo a passo: 5\times 20 = 100, então
5\cdot 10^{-4}\times 20 = 100\cdot 10^{-4} = 10^{-2} = 0{,}01.

Passo 5

Somando ao 1:
1+\alpha\Delta T = 1 + 0{,}01 = 1{,}01.
Logo o comprimento real é
L = 100\\ \mathrm{cm}\times 1{,}01 = 100 + 1 = 101\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Interpretação final e dica para a prova: como a régua se expandiu, cada centímetro da régua ficou maior, então uma leitura de 100\\ \mathrm{cm} com a régua quente corresponde a um comprimento real maior que 100\\ \mathrm{cm}. A correção é sempre multiplicar a leitura pelo fator 1+\alpha\Delta T. Guarda essa fórmula; é rapidinha de aplicar.

Resposta

101\\ \mathrm{cm}

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