4.29 Dado
, calcule
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
As informações relevantes são:
- componente na direção
: ; - componente na direção
: ; - não há componente explícita na direção
(logo ).
O que o exercício pede: calcular
.
Passo 2
Definição e ideia do que é
.
A operação
é o operador divergente aplicado a um campo vetorial. Em coordenadas cartesianas (com componentes
) a fórmula é:
Explicando cada símbolo:
-
é uma função escalar que mede a “taxa de saída” do campo por unidade de volume; -
significa derivada parcial em relação a : trata e como constantes ao derivar uma expressão que depende de e ; - análogo para
e .
Como aqui só temos
e
dependentes de
e
, a fórmula reduz para
Passo 3
Identificar claramente as componentes para aplicar a fórmula:
Isto foi extraído do enunciado.
Passo 4
Calcular a derivada parcial
.
Tomando
:
- a derivada de
em relação a é (porque ); - a derivada de
em relação a é , pois é tratado como constante quando derivamos em .
Portanto
Passo 5
Calcular a derivada parcial
.
Tomando
:
- a derivada de
em relação a é , pois é tratado como constante; - a derivada de
em relação a é (regra da potência: ).
Portanto
Passo 6
Somar as duas derivadas parciais conforme a definição de divergência:
Como checagem rápida (opcional): em
a divergência vale
.