4.29 Dado \mathrm{A}=\left(3 x+y^{2}\right) \mathrm{a}_{x}+\left(x-y^{2}\right) \mathrm{a}_{y}, calcule \nabla \cdot \mathrm{A}

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\mathrm{A}=\left(3 x+y^{2}\right) \mathrm{a}_{x}+\left(x-y^{2}\right) \mathrm{a}_{y}
As informações relevantes são:
  • componente na direção x: \;A_{x}=3x+y^{2};
  • componente na direção y: \;A_{y}=x-y^{2};
  • não há componente explícita na direção z (logo A_{z}=0).
O que o exercício pede: calcular \nabla\cdot \mathrm{A}.

Passo 2

Definição e ideia do que é \nabla\cdot \mathrm{A}.
A operação \nabla\cdot é o operador divergente aplicado a um campo vetorial. Em coordenadas cartesianas (com componentes A_x, A_y, A_z) a fórmula é:
\nabla\cdot \mathrm{A}=\frac{\partial A_{x}}{\partial x}+\frac{\partial A_{y}}{\partial y}+\frac{\partial A_{z}}{\partial z}.
Explicando cada símbolo:
  • \nabla\cdot \mathrm{A} é uma função escalar que mede a “taxa de saída” do campo por unidade de volume;
  • \frac{\partial}{\partial x} significa derivada parcial em relação a x: trata y e z como constantes ao derivar uma expressão que depende de x e y;
  • análogo para \frac{\partial}{\partial y} e \frac{\partial}{\partial z}.
Como aqui só temos A_x e A_y dependentes de x,y e A_z=0, a fórmula reduz para
\nabla\cdot \mathrm{A}=\frac{\partial A_{x}}{\partial x}+\frac{\partial A_{y}}{\partial y}.

Passo 3

Identificar claramente as componentes para aplicar a fórmula:
A_{x}=3x+y^{2},\qquad A_{y}=x-y^{2},\qquad A_{z}=0.
Isto foi extraído do enunciado.

Passo 4

Calcular a derivada parcial \dfrac{\partial A_{x}}{\partial x}.
Tomando \;A_{x}=3x+y^{2}:
  • a derivada de 3x em relação a x é 3 (porque \dfrac{d}{dx}(3x)=3);
  • a derivada de y^{2} em relação a x é 0, pois y é tratado como constante quando derivamos em x.
Portanto
\frac{\partial A_{x}}{\partial x}=3+0=3.

Passo 5

Calcular a derivada parcial \dfrac{\partial A_{y}}{\partial y}.
Tomando \;A_{y}=x-y^{2}:
  • a derivada de x em relação a y é 0, pois x é tratado como constante;
  • a derivada de -y^{2} em relação a y é -2y (regra da potência: \dfrac{d}{dy}(y^{2})=2y).
Portanto
\frac{\partial A_{y}}{\partial y}=0-2y=-2y.

Passo 6

Somar as duas derivadas parciais conforme a definição de divergência:
\nabla\cdot \mathrm{A}=\frac{\partial A_{x}}{\partial x}+\frac{\partial A_{y}}{\partial y}=3+(-2y)=3-2y.
Como checagem rápida (opcional): em (x,y)=(1,2) a divergência vale \;3-2\cdot2=3-4=-1.

Resposta

\nabla\cdot \mathrm{A}=3-2y

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