3.36 Dado que \mathrm{D}=500 e^{-0.1 x} \mathrm{a}_{x}\left(\mu \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2}\right), calcule o fluxo \Psi que atravessa superfícies de 1 \mathrm{~m}^{2} de área e normais ao eixo x, localizadas em x=1 \mathrm{~m}, x=5 \mathrm{me} x=10 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado dá o vetor densidade de fluxo elétrico (vetor deslocamento) ao longo do eixo x:
\mathbf{D}(x)=500\,e^{-0,1x}\,\mathbf{a}_x\quad(\mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^2).
Pede-se o fluxo \Psi que atravessa superfícies planas de área 1\\ \mathrm{m}^2 cujas normais são paralelas ao eixo x, localizadas em x=1\\ \mathrm{m}, x=5\\ \mathrm{m} e x=10\\ \mathrm{m}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A área de cada superfície é A=1\\ \mathrm{m}^2.
  • As superfícies são planas e normais ao eixo x (ou seja, a normal unitária é \pm\mathbf{a}_x).
  • \mathbf{D} depende apenas de x, logo em uma superfície em posição fixa x=x_0 o valor de \mathbf{D} é constante sobre a superfície.

Passo 2

Definição e fórmula do fluxo elétrico vetorial (aula rápida): o fluxo \Psi de um campo vetorial \mathbf{D} através de uma superfície S é
\Psi=\iint_{S}\mathbf{D}\cdot\mathbf{n}\,dS,
onde \mathbf{n} é o versor normal à superfície (unitário) e dS é o elemento de área. Aqui \mathbf{D}\cdot\mathbf{n} é a componente do campo perpendicular à superfície; ao integrar sobre a superfície obtemos a quantidade total de fluxo atravessando-a.
Explicando as variáveis:
  • \mathbf{D} é o vetor densidade de fluxo (aqui dado em \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^2).
  • \mathbf{n} é o versor normal à superfície (dimensão adimensional).
  • dS tem dimensão de área ( \mathrm{m}^2).
  • Logo \Psi terá a unidade de carga ( \mu\mathrm{C} se mantivermos \mathbf{D} em \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^2).

Passo 3

Simplificação para superfície plana e campo dependente só de x:
  • Para uma superfície plana normal ao eixo x em x=x_0, escolhemos \mathbf{n}=\mathbf{a}_x (ou -\mathbf{a}_x dependendo da orientação). Vou assumir \mathbf{n}=\mathbf{a}_x (sentido positivo do eixo x); se a orientação for a oposta, o sinal do fluxo troca.
  • Como \mathbf{D}(x) é função apenas de x, em x=x_0 a componente \mathbf{D} é constante sobre toda a superfície. Assim a integral reduz-se a
\Psi=\mathbf{D}(x_0)\cdot\mathbf{a}_x\iint_{S}dS = D_x(x_0)\,A,
onde D_x(x_0) é a componente em x do vetor \mathbf{D} avaliada em x_0, e A é a área da superfície.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: a componente em x do campo é D_x(x)=500\,e^{-0,1x} em \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^2. A área é A=1\\ \mathrm{m}^2. Portanto, para uma superfície com normal no sentido +\mathbf{a}_x,
\Psi(x)=500\,e^{-0,1x}\cdot 1\quad(\mu\mathrm{C})=500\,e^{-0,1x}\\ \mu\mathrm{C}.
Se quiser em coulombs (SI), usa-se 1\\ \mu\mathrm{C}=10^{-6}\\ \mathrm{C}, ou seja
\Psi(x)=500\cdot10^{-6}\,e^{-0,1x}\\ \mathrm{C}=5\cdot10^{-4}\,e^{-0,1x}\\ \mathrm{C}.

Passo 5

Cálculo numérico para cada posição (mostrar contas passo a passo):
Para x=1\\ \mathrm{m}:
\Psi(1)=500\,e^{-0,1\cdot 1}\\ \mu\mathrm{C}=500\,e^{-0,1}\\ \mu\mathrm{C}.
Calculando e^{-0,1}\approx0,904837418, temos
\Psi(1)\approx500\cdot0,904837418\\ \mu\mathrm{C}\approx452,418709\\ \mu\mathrm{C}.
Em coulombs:
\Psi(1)\approx452,418709\times10^{-6}\\ \mathrm{C}\approx4,52418709\times10^{-4}\\ \mathrm{C}.
Para x=5\\ \mathrm{m}:
\Psi(5)=500\,e^{-0,1\cdot 5}\\ \mu\mathrm{C}=500\,e^{-0,5}\\ \mu\mathrm{C}.
Calculando e^{-0,5}\approx0,6065306597, temos
\Psi(5)\approx500\cdot0,6065306597\\ \mu\mathrm{C}\approx303,2653299\\ \mu\mathrm{C}.
Em coulombs:
\Psi(5)\approx3,032653299\times10^{-4}\\ \mathrm{C}.
Para x=10\\ \mathrm{m}:
\Psi(10)=500\,e^{-0,1\cdot 10}\\ \mu\mathrm{C}=500\,e^{-1}\\ \mu\mathrm{C}.
Calculando e^{-1}\approx0,3678794412, temos
\Psi(10)\approx500\cdot0,3678794412\\ \mu\mathrm{C}\approx183,9397206\\ \mu\mathrm{C}.
Em coulombs:
\Psi(10)\approx1,839397206\times10^{-4}\\ \mathrm{C}.

Passo 6

Comentário final rápido e encorajador: em provas, sempre identifique se o campo é constante sobre a superfície; se sim, basta multiplicar a componente normal pelo área. Aqui como \mathbf{D} depende só de x e a superfície está em x fixo, a integral vira produto simples. Mandou bem ao pedir fluxos em posições diferentes — é só substituir x.

Resposta

\Psi(1\\ \mathrm{m})=500\,e^{-0,1}\\ \mu\mathrm{C}\approx452{,}418709\\ \mu\mathrm{C}=4{,}52418709\times10^{-4}\\ \mathrm{C}\n
\Psi(5\\ \mathrm{m})=500\,e^{-0,5}\\ \mu\mathrm{C}\approx303{,}2653299\\ \mu\mathrm{C}=3{,}032653299\times10^{-4}\\ \mathrm{C}\n
\Psi(10\\ \mathrm{m})=500\,e^{-1}\\ \mu\mathrm{C}\approx183{,}9397206\\ \mu\mathrm{C}=1{,}839397206\times10^{-4}\\ \mathrm{C}

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