3.36 Dado que
, calcule o fluxo
que atravessa superfícies de
de área e normais ao eixo
, localizadas em
.
Passo 1
O enunciado dá o vetor densidade de fluxo elétrico (vetor deslocamento) ao longo do eixo
:
Pede-se o fluxo
que atravessa superfícies planas de área
cujas normais são paralelas ao eixo
, localizadas em
,
e
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A área de cada superfície é
. - As superfícies são planas e normais ao eixo
(ou seja, a normal unitária é ). -
depende apenas de , logo em uma superfície em posição fixa o valor de é constante sobre a superfície.
Passo 2
Definição e fórmula do fluxo elétrico vetorial (aula rápida): o fluxo
de um campo vetorial
através de uma superfície
é
onde
é o versor normal à superfície (unitário) e
é o elemento de área. Aqui
é a componente do campo perpendicular à superfície; ao integrar sobre a superfície obtemos a quantidade total de fluxo atravessando-a.
Explicando as variáveis:
-
é o vetor densidade de fluxo (aqui dado em ). -
é o versor normal à superfície (dimensão adimensional). -
tem dimensão de área ( ). - Logo
terá a unidade de carga ( se mantivermos em ).
Passo 3
Simplificação para superfície plana e campo dependente só de
:
- Para uma superfície plana normal ao eixo
em , escolhemos (ou dependendo da orientação). Vou assumir (sentido positivo do eixo ); se a orientação for a oposta, o sinal do fluxo troca. - Como
é função apenas de , em a componente é constante sobre toda a superfície. Assim a integral reduz-se a
onde
é a componente em
do vetor
avaliada em
, e
é a área da superfície.
Passo 4
Aplicando ao nosso caso: a componente em
do campo é
em
. A área é
. Portanto, para uma superfície com normal no sentido
,
Se quiser em coulombs (SI), usa-se
, ou seja
Passo 5
Cálculo numérico para cada posição (mostrar contas passo a passo):
Para
:
Calculando
, temos
Em coulombs:
Para
:
Calculando
, temos
Em coulombs:
Para
:
Calculando
, temos
Em coulombs:
Passo 6
Comentário final rápido e encorajador: em provas, sempre identifique se o campo é constante sobre a superfície; se sim, basta multiplicar a componente normal pelo área. Aqui como
depende só de
e a superfície está em
fixo, a integral vira produto simples. Mandou bem ao pedir fluxos em posições diferentes — é só substituir
.