3.43 O volume 2 \leqslant x \leqslant 4 \mathrm{~m} (coordenadas cartesianas) possui uma densidade uniforme de cargas de 2 \mathrm{C} / \mathrm{m}^{3}. Use a lei de Gauss para calcular o campo D para todo o espaço.

Passo 1

O enunciado dá uma distribuição de carga volumétrica uniforme e pede o campo \mathbf{D} em todo o espaço. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A densidade volumétrica de carga é \rho_v = 2\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^3 somente na região definida por 2 \leqslant x \leqslant 4 (coordenadas cartesianas).
  • Para x<2 e para x>4 a densidade volumétrica é \rho_v=0.
  • A distribuição é uniforme e infinita nas direções y e z (não foi dito explicitamente, mas a dependência do enunciado apenas em x indica simetria planar).
    O que se pede:
  • Calcular \mathbf{D} (campo deslocamento elétrico) para todo o espaço, ou seja, encontrar \mathbf{D}(x) para as três regiões x<2, 2<x<4 e x>4.

Passo 2

Relembrando a Lei de Gauss para \mathbf{D} e a forma diferencial que vamos usar (aqui explico o porquê e o que significam os símbolos).
  • Forma integral da lei de Gauss para \mathbf{D}:
\oint_S \mathbf{D}\cdot d\mathbf{A} = Q_{\text{enc}},
onde Q_{\text{enc}} é a carga livre total encerrada pela superfície fechada S.
  • Forma diferencial (equivalente) da lei de Gauss:
\nabla\cdot\mathbf{D} = \rho_v,
onde \nabla\cdot\mathbf{D} é a divergência de \mathbf{D} e \rho_v é a densidade volumétrica de carga livre (aqui \rho_v=2 na região dada e zero fora).
Explicação didática: a divergência mede como o campo “sai” de um ponto; onde há carga volumétrica positiva, a divergência é positiva. Essas equações são alternativas — tanto a forma integral quanto a diferencial descrevem a mesma lei.

Passo 3

Análise de simetria e implicações para \mathbf{D}.
  • A distribuição depende somente de x e é uniforme nas direções y e z. Isso implica planaridade: as superfícies de carga são planos paralelos a yz.
  • Pela simetria, o campo \mathbf{D} só pode ter componente na direção x e depender apenas de x. Ou seja:
\mathbf{D}(x) = D_x(x)\,\hat{\mathbf{x}}.
Explicação: se houvesse componente em y ou z, a simetria por translação em y e z seria violada. Então reduzimos o problema a uma função escalar D_x(x).

Passo 4

Aplicando a forma diferencial em 1D: relação entre divergência e derivada.
  • Para um campo que só tem componente em x e depende apenas de x,
\nabla\cdot\mathbf{D} = \frac{dD_x}{dx}.
  • Pela lei de Gauss diferencial,
\frac{dD_x}{dx} = \rho_v(x).
Isto transforma o problema numa equação diferencial ordinária muito simples: a derivada de D_x em relação a x é a densidade volumétrica.

Passo 5

Integração peça a peça (regiões com densidade diferente). Vou integrar e obter a solução geral com uma constante de integração.
  • Região 1: x<2. Aqui \rho_v(x)=0. Então
\frac{dD_x}{dx}=0 \quad\Rightarrow\quad D_x(x)=C_1,
onde C_1 é constante (ainda indefinida).
  • Região 2: 2<x<4. Aqui \rho_v(x)=2. Então
\frac{dD_x}{dx}=2 \quad\Rightarrow\quad D_x(x)=2x+C_2,
onde C_2 é constante de integração.
  • Região 3: x>4. Aqui \rho_v(x)=0. Então
\frac{dD_x}{dx}=0 \quad\Rightarrow\quad D_x(x)=C_3,
onde C_3 é constante.

Passo 6

Impor continuidade de D_x (vida útil da lei integral) e determinar constantes por condições físicas.
  • A forma integral da lei de Gauss aplicada a uma caixa cuja faces planas estão em x=a e x=b dá:
A\bigl(D_x(b)-D_x(a)\bigr)=A\int_a^b \rho_v(x)\,dx,
onde A é a área do retângulo das faces (cancela), então
D_x(b)-D_x(a)=\int_a^b \rho_v(x)\,dx.
Isto equivale ao que já usamos na integração: as diferenças de D_x entre dois pontos igualam a carga por unidade de área entre esses pontos.
  • Use continuidade de D_x em x=2 e x=4 (a menos que houvesse uma superfície de carga livre infinita exatamente na fronteira, o que aqui não foi dado; o volume termina, mas não há charge-surface adicional especificada).
    Aplicando continuidade em x=2:
    valor de D_x à esquerda = valor à direita:
C_1 = 2\cdot 2 + C_2 \quad\Rightarrow\quad C_1 = 4 + C_2.
Aplicando continuidade em x=4:
2\cdot 4 + C_2 = C_3 \quad\Rightarrow\quad C_3 = 8 + C_2.
  • Ainda sobra uma constante livre porque a equação \nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_v determina D_x apenas até uma constante global que satisfaz \nabla\cdot(\text{const})=0. Precisamos escolher uma condição de referência física ou de contorno para fixar essa constante. Uma escolha comum é tomar \mathbf{D} nulo suficientemente à esquerda, isto é:
    condição de contorno escolhida: \displaystyle \lim_{x\to -\infty} D_x(x)=0.
    Com essa escolha temos C_1=0. (Explico: isso fixa a “referência” do campo; outra escolha adicionaria uma constante uniforme a D, que corresponde a um campo uniforme sem divergência adicional.)
  • Assim C_1=0 e então pelas relações acima:
0 = 4 + C_2 \quad\Rightarrow\quad C_2 = -4,
C_3 = 8 + C_2 = 8 -4 = 4.

Passo 7

Escrever a solução final explícita em cada região e comentar o sentido do campo.
  • Substituindo os valores das constantes nas expressões anteriores:
Região x<2\): \[D_x(x)=0.
Região 2<x<4:
D_x(x)=2x-4 = 2(x-2).
Região x>4:
D_x(x)=4.
  • Em forma vetorial, lembrando que \mathbf{D}(x)=D_x(x)\,\hat{\mathbf{x}},
\mathbf{D}(x)= \begin{cases} 0\\ \hat{\mathbf{x}}, & x<2,\\[4pt] 2(x-2)\\ \hat{\mathbf{x}}, & 2<x<4,\\[4pt] 4\\ \hat{\mathbf{x}}, & x>4. \end{cases}
Comentário físico: o valor 4\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^2\] em \(x>4 é o total de carga por unidade de área da lâmina (densidade 2\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^3 vezes espessura 4-2=2\\ \mathrm{m}), e dentro da lâmina o componente D_x cresce linearmente com x, refletindo que a carga “acumulada” entre x=2 e a posição x é proporcional a x-2. A escolha D=0 para x<2 foi feita como condição de referência ( D nulo em -\infty); se preferir outra referência, acrescenta-se uma constante uniforme a toda solução.]

Passo 8

Pequeno check usando a forma integral (confirmação):
  • Escolha uma área A e uma superfície entre x=a e x=b. A diferença D_x(b)-D_x(a) deve igualar \int_a^b \rho_v\,dx. Por exemplo, para a=1 e b=3: a integral \int_1^3 \rho_v dx pega carga apenas entre 2 e 3, dando 2\cdot(3-2)=2. Nossa solução fornece D_x(3)-D_x(1) = 2(3-2)-0 = 2, consistente.

Resposta

\mathbf{D}(x)=\begin{cases} 0\\ \hat{\mathbf{x}}, & x<2,\\[4pt] 2(x-2)\\ \hat{\mathbf{x}}, & 2<x<4,\\[4pt] 4\\ \hat{\mathbf{x}}, & x>4. \end{cases}]

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