29 Uma esfera oca com diâmetro externo de 10 cm tem massa de 80 g . Quantas pequenas esferas de aproximadamente 0,1 gramas deverão ser introduzidas na esfera oca para que esta fique totalmente submersa e em equilíbrio em um líquido contido em um recipiente (considere
).
Passo 1
O enunciado pede: quantas pequenas esferas de aproximadamente
g devem ser introduzidas numa esfera oca para que ela fique totalmente submersa e em equilíbrio num líquido com densidade
. Dados fornecidos:
O objetivo é encontrar o número inteiro de pequenas esferas
que deve ser colocado dentro da esfera oca para que a combinação fique totalmente submersa e em equilíbrio.]
Passo 2
Princípio físico que usamos (explicação didática): o princípio de Arquimedes diz que a força de empuxo
sobre um corpo totalmente submerso é igual ao peso do volume de líquido deslocado. Em fórmulas:
onde
é a densidade do líquido (em
),
é o volume deslocado (em
) e
é a aceleração da gravidade. O peso do corpo (esfera oca + pequenas esferas) é
Para equilíbrio vertical (nem sobe nem desce) estando totalmente submerso, o empuxo deve igualar o peso:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
, obtendo a equação em massas:
Explicação: assim não precisamos do valor de
— ele cancela — e trabalhamos só com massas e volumes.
Passo 3
Calcular o volume
da esfera (volume deslocado quando totalmente submersa). Fórmula do volume de uma esfera:
onde
é o raio externo. Aqui
, então
Agora aproximamos numericamente usando
:
Passo 4
Calcular a massa do líquido deslocado (que é a massa que gera o empuxo):
Substituindo valores:
Interpretação: quando a esfera estiver totalmente submersa, o empuxo equivale ao peso de aproximadamente
de líquido.
Passo 5
A massa total necessária do conjunto (esfera oca + pequenas esferas) para alcançar esse empuxo é igual a
. Logo a massa que deve ser acrescentada pelas pequenas esferas é
Substituindo:
Passo 6
Cada pequena esfera tem massa
. O número necessário (em teoria real, não inteiro) é
Como não é possível introduzir uma fração de esfera, precisamos escolher um número inteiro. Explicação sobre arredondamento: para que a esfera fique totalmente submersa, sua massa deve ser exatamente igual à massa do líquido deslocado. Com esferas discretas isso é raramente exato; se colocarmos
esferas a massa total será ligeiramente menor que a massa do líquido deslocado e a esfera tenderá a subir (não ficará totalmente submersa). Se colocarmos
esferas a massa total será ligeiramente maior e a esfera tenderá a afundar (ficará submersa e, se houver fundo, pode repousar nele) — em muitos problemas práticos interpreta-se que devemos colocar o menor número inteiro que atinja ou ultrapasse a massa necessária para garantir que ela fique totalmente submersa. Por isso arredondamos para cima.
Passo 7
Arredondando para cima: