29 Uma esfera oca com diâmetro externo de 10 cm tem massa de 80 g . Quantas pequenas esferas de aproximadamente 0,1 gramas deverão ser introduzidas na esfera oca para que esta fique totalmente submersa e em equilíbrio em um líquido contido em um recipiente (considere \rho_{\text {liquido }}=0,88 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} ).

Passo 1

O enunciado pede: quantas pequenas esferas de aproximadamente \,0,1 g devem ser introduzidas numa esfera oca para que ela fique totalmente submersa e em equilíbrio num líquido com densidade \rho_{\text{liquido}}=0,88\\ \mathrm{g/cm^3}. Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{diâmetro externo da esfera oca} = 10\\ \mathrm{cm} \\\ &\Rightarrow \text{raio externo } R = 5\\ \mathrm{cm},\\[4pt] &\text{massa da esfera oca (vazia)} = 80\\ \mathrm{g},\\[4pt] &\text{massa de cada pequena esfera} = 0,1\\ \mathrm{g},\\[4pt] &\rho_{\text{liquido}} = 0,88\\ \mathrm{g/cm^3}. \end{aligned}â
O objetivo é encontrar o número inteiro de pequenas esferas n que deve ser colocado dentro da esfera oca para que a combinação fique totalmente submersa e em equilíbrio.]

Passo 2

Princípio físico que usamos (explicação didática): o princípio de Arquimedes diz que a força de empuxo F_b sobre um corpo totalmente submerso é igual ao peso do volume de líquido deslocado. Em fórmulas:
F_b = \rho_{\text{liquido}} \, V \, g,
onde \rho_{\text{liquido}} é a densidade do líquido (em \mathrm{g/cm^3}), V é o volume deslocado (em \mathrm{cm^3}) e g é a aceleração da gravidade. O peso do corpo (esfera oca + pequenas esferas) é
P = (m_{\text{esfera}} + n\,m_{\text{pequena}})\,g.
Para equilíbrio vertical (nem sobe nem desce) estando totalmente submerso, o empuxo deve igualar o peso:
\rho_{\text{liquido}} \, V \, g = (m_{\text{esfera}} + n\,m_{\text{pequena}})\,g.
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por g, obtendo a equação em massas:
\rho_{\text{liquido}} \, V = m_{\text{esfera}} + n\,m_{\text{pequena}}.
Explicação: assim não precisamos do valor de g — ele cancela — e trabalhamos só com massas e volumes.

Passo 3

Calcular o volume V da esfera (volume deslocado quando totalmente submersa). Fórmula do volume de uma esfera:
V = \frac{4}{3}\pi R^3,
onde R é o raio externo. Aqui R=5\\ \mathrm{cm}, então
R^3 = 5^3 = 125\\ \mathrm{cm^3},
V = \frac{4}{3}\pi\cdot 125 = \frac{500}{3}\pi\\ \mathrm{cm^3}.
Agora aproximamos numericamente usando \pi\approx 3,14159265:
\frac{500}{3}\approx 166{,}666\ldots,\quad V \approx 166{,}666\ldots \times 3{,}14159265 \approx 523{,}5988\\ \mathrm{cm^3}.

Passo 4

Calcular a massa do líquido deslocado (que é a massa que gera o empuxo):
m_{\text{desloc}} = \rho_{\text{liquido}}\,V.
Substituindo valores:
m_{\text{desloc}} = 0{,}88 \times 523{,}5988\\ \mathrm{g} \approx 460{,}7669\\ \mathrm{g}.
Interpretação: quando a esfera estiver totalmente submersa, o empuxo equivale ao peso de aproximadamente 460{,}77\\ \mathrm{g} de líquido.

Passo 5

A massa total necessária do conjunto (esfera oca + pequenas esferas) para alcançar esse empuxo é igual a m_{\text{desloc}}. Logo a massa que deve ser acrescentada pelas pequenas esferas é
m_{\text{pequenas, tot}} = m_{\text{desloc}} - m_{\text{esfera}}.
Substituindo:
m_{\text{pequenas, tot}} \approx 460{,}7669 - 80 = 380{,}7669\\ \mathrm{g}.

Passo 6

Cada pequena esfera tem massa m_{\text{pequena}} = 0{,}1\\ \mathrm{g}. O número necessário (em teoria real, não inteiro) é
n = \frac{m_{\text{pequenas, tot}}}{m_{\text{pequena}}} = \frac{380{,}7669}{0{,}1} \approx 3807{,}669.
Como não é possível introduzir uma fração de esfera, precisamos escolher um número inteiro. Explicação sobre arredondamento: para que a esfera fique totalmente submersa, sua massa deve ser exatamente igual à massa do líquido deslocado. Com esferas discretas isso é raramente exato; se colocarmos 3807 esferas a massa total será ligeiramente menor que a massa do líquido deslocado e a esfera tenderá a subir (não ficará totalmente submersa). Se colocarmos 3808 esferas a massa total será ligeiramente maior e a esfera tenderá a afundar (ficará submersa e, se houver fundo, pode repousar nele) — em muitos problemas práticos interpreta-se que devemos colocar o menor número inteiro que atinja ou ultrapasse a massa necessária para garantir que ela fique totalmente submersa. Por isso arredondamos para cima.

Passo 7

Arredondando para cima:
n = 3808\\ \text{pequenas esferas}.

Resposta

3808 esferas

Exercícios relacionados