20 Uma equipe de manutenção está trabalhando em um trecho de uma estrada de três pistas, deixando apenas uma pista aberta ao tráfego. O resultado é um tráfego muito mais lento (um engarrafamento). Os carros na estrada se comportam como
i) moléculas de um fluido incompressível ou
ii) moléculas de um fluido compressível? Justifique.

Passo 1

O enunciado diz que uma estrada com três pistas teve manutenção e ficou com apenas uma pista aberta, gerando tráfego muito mais lento (engarrafamento). A pergunta é: os carros na estrada se comportam como moléculas de um fluido i) incompressível ou ii) compressível? Peça: escolher uma das opções e justificar. Informações relevantes dadas no enunciado: há redução da capacidade (de 3 pistas para 1) e isso provoca lentidão/engarrafamento; precisamos relacionar isso com comportamento de densidade/espalhamento das “partículas” (carros).

Passo 2

Definição e ideia central (sem pular etapas):
  • Um fluido incompressível é aquele cuja densidade não muda com o escoamento local. Em termos simples: a massa por volume é constante, e quando o fluido encontra uma constrição, a velocidade muda para preservar o fluxo, mas a densidade permanece (aproximadamente) a mesma. Ex.: água em muitas situações práticas é tratada como incompressível.
  • Um fluido compressível é aquele cuja densidade pode variar no espaço e no tempo em resposta a restrições de escoamento (como variação de pressão ou área). Ex.: gases como o ar, onde a densidade muda quando há compressões e rarefações.
    Aqui a ideia-chave que vamos usar é: incompressível → densidade constante; compressível → densidade variável.

Passo 3

Como modelamos macroscopicamente o tráfego (variáveis e fórmula fundamental):
  • Definimos três quantidades simples e intuitivas que descrevem tráfego numa via:
    • k: densidade de veículos, medida por exemplo em carros por quilômetro (cars/km). É “quantos carros há por unidade de comprimento”.
    • v: velocidade média dos veículos em km/h.
    • q: fluxo de veículos, isto é, carros por hora que passam por um ponto.
  • Essas grandezas estão relacionadas pela fórmula simples e muito usada:
q = k\,v
Expliquei: se, num trecho, há k carros por km e cada carro anda em média a v km/h, então em uma hora cada carro percorre v km; multiplicando por k obtemos quantos carros passam por um ponto por hora. Essa é a relação fundamental do fluxo de tráfego — é análoga à relação massa/velocidade/fluxo em escoamentos.

Passo 4

Aplicando a ideia ao caso da redução de pistas: conservação e ajuste de densidade
  • Pense no trecho antes da obra com capacidade (fluxo máximo) alta; depois da obra a capacidade por seção (número máximo de carros que passam por unidade de tempo) diminui porque só ficou uma pista.
  • Se a demanda de entrada de carros a montante é maior do que a nova capacidade a jusante, os carros vão se acumular antes da constrição. Em termos de k e q:
    • Antes: havia um certo fluxo q_{\text{mont}} compatível com as três pistas.
    • Depois: a seção com uma pista só tem capacidade máxima q_{\text{jus}} < q_{\text{mont}}.
    • Como resultado, a região a montante experimenta aumento de k (mais carros por km) e diminuição de v (velocidade média cai) até que, localmente, k e v satisfaçam q_{\text{local}} = k\,v \approx q_{\text{jus}}.
  • Ou seja: a densidade k não permanece constante — aumenta onde os carros se acumulam. Isso é exatamente um comportamento de compressão (a densidade do “material” muda por causa da restrição).

Passo 5

Exemplo numérico simples para fixar a intuição
  • Imagine antes da obra: velocidade média v_1 = 100 km/h e densidade k_1 = 10 carros/km, então
q_1 = k_1 v_1 = 10 \times 100 = 1000\\ \text{carros/h}.
  • Depois da obra a capacidade cai (por exemplo) para q_{\text{máx}} = 500á carros/h na seção de uma pista. A demanda continua q_1=1000 carros/h chegando à restrição. O que acontece? Os carros têm de se acumular antes da obra até que a densidade aumente e a velocidade caia até que se tenha
k_2 v_2 = q_{\text{máx}} = 500.á
  • Esse acúmulo significa aumento de k e redução de v: a densidade mudou significativamente entre a região livre e a região de engarrafamento. Logo, a “densidade” do sistema não é constante.

Passo 6

Ligando com modelos de tráfego contínuo (breve nota didática)
  • A modelagem macroscópica do tráfego costuma usar uma equação de conservação parecida com as equações de fluidos compressíveis:
\frac{\partial k}{\partial t} + \frac{\partial q(k)}{\partial x} = 0,
onde q(k)=k\,v(k) é a relação fluxo–densidade. Essa é uma equação de conservação de “número de carros” e permite surgimento de ondas de densidade (ondas de parada) que se propagam pra montante — fenômeno bem observado nos engarrafamentos. Em fluidos incompressíveis isso não ocorre da mesma forma porque a densidade não varia.
  • Observação prática: carros são corpúsculos discretos, então a analogia com “moléculas” é aproximada; porém, em escala macroscópica e para explicar engarrafamentos e ondas de parada, o modelo contínuo compressível funciona muito bem.

Passo 7

Conclusão lógica e justificativa curta e direta
  • Como a redução de pistas provoca acúmulo de carros e variação local da densidade k (mais carros por comprimento onde há engarrafamento) — e como existe propagação de regiões de maior/menor densidade — o comportamento é o de um fluido cujo valor de densidade muda: isto é compressível. Portanto a analogia correta é com um fluido compressível.

Resposta

ii) moléculas de um fluido compressível.

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