20 Uma equipe de manutenção está trabalhando em um trecho de uma estrada de três pistas, deixando apenas uma pista aberta ao tráfego. O resultado é um tráfego muito mais lento (um engarrafamento). Os carros na estrada se comportam como
i) moléculas de um fluido incompressível ou
ii) moléculas de um fluido compressível? Justifique.
i) moléculas de um fluido incompressível ou
ii) moléculas de um fluido compressível? Justifique.
Passo 1
O enunciado diz que uma estrada com três pistas teve manutenção e ficou com apenas uma pista aberta, gerando tráfego muito mais lento (engarrafamento). A pergunta é: os carros na estrada se comportam como moléculas de um fluido i) incompressível ou ii) compressível? Peça: escolher uma das opções e justificar. Informações relevantes dadas no enunciado: há redução da capacidade (de 3 pistas para 1) e isso provoca lentidão/engarrafamento; precisamos relacionar isso com comportamento de densidade/espalhamento das “partículas” (carros).
Passo 2
Definição e ideia central (sem pular etapas):
- Um fluido incompressível é aquele cuja densidade não muda com o escoamento local. Em termos simples: a massa por volume é constante, e quando o fluido encontra uma constrição, a velocidade muda para preservar o fluxo, mas a densidade permanece (aproximadamente) a mesma. Ex.: água em muitas situações práticas é tratada como incompressível.
- Um fluido compressível é aquele cuja densidade pode variar no espaço e no tempo em resposta a restrições de escoamento (como variação de pressão ou área). Ex.: gases como o ar, onde a densidade muda quando há compressões e rarefações.
Aqui a ideia-chave que vamos usar é: incompressível → densidade constante; compressível → densidade variável.
Passo 3
Como modelamos macroscopicamente o tráfego (variáveis e fórmula fundamental):
- Definimos três quantidades simples e intuitivas que descrevem tráfego numa via:
-
: densidade de veículos, medida por exemplo em carros por quilômetro (cars/km). É “quantos carros há por unidade de comprimento”. -
: velocidade média dos veículos em km/h. -
: fluxo de veículos, isto é, carros por hora que passam por um ponto.
-
- Essas grandezas estão relacionadas pela fórmula simples e muito usada:
Expliquei: se, num trecho, há
carros por km e cada carro anda em média a
km/h, então em uma hora cada carro percorre
km; multiplicando por
obtemos quantos carros passam por um ponto por hora. Essa é a relação fundamental do fluxo de tráfego — é análoga à relação massa/velocidade/fluxo em escoamentos.
Passo 4
Aplicando a ideia ao caso da redução de pistas: conservação e ajuste de densidade
- Pense no trecho antes da obra com capacidade (fluxo máximo) alta; depois da obra a capacidade por seção (número máximo de carros que passam por unidade de tempo) diminui porque só ficou uma pista.
- Se a demanda de entrada de carros a montante é maior do que a nova capacidade a jusante, os carros vão se acumular antes da constrição. Em termos de
e : - Antes: havia um certo fluxo
compatível com as três pistas. - Depois: a seção com uma pista só tem capacidade máxima
. - Como resultado, a região a montante experimenta aumento de
(mais carros por km) e diminuição de (velocidade média cai) até que, localmente, e satisfaçam .
- Antes: havia um certo fluxo
- Ou seja: a densidade
não permanece constante — aumenta onde os carros se acumulam. Isso é exatamente um comportamento de compressão (a densidade do “material” muda por causa da restrição).
Passo 5
Exemplo numérico simples para fixar a intuição
- Imagine antes da obra: velocidade média
km/h e densidade carros/km, então
- Depois da obra a capacidade cai (por exemplo) para
carros/h na seção de uma pista. A demanda continua carros/h chegando à restrição. O que acontece? Os carros têm de se acumular antes da obra até que a densidade aumente e a velocidade caia até que se tenha
- Esse acúmulo significa aumento de
e redução de : a densidade mudou significativamente entre a região livre e a região de engarrafamento. Logo, a “densidade” do sistema não é constante.
Passo 6
Ligando com modelos de tráfego contínuo (breve nota didática)
- A modelagem macroscópica do tráfego costuma usar uma equação de conservação parecida com as equações de fluidos compressíveis:
onde
é a relação fluxo–densidade. Essa é uma equação de conservação de “número de carros” e permite surgimento de ondas de densidade (ondas de parada) que se propagam pra montante — fenômeno bem observado nos engarrafamentos. Em fluidos incompressíveis isso não ocorre da mesma forma porque a densidade não varia.
- Observação prática: carros são corpúsculos discretos, então a analogia com “moléculas” é aproximada; porém, em escala macroscópica e para explicar engarrafamentos e ondas de parada, o modelo contínuo compressível funciona muito bem.
Passo 7
Conclusão lógica e justificativa curta e direta
- Como a redução de pistas provoca acúmulo de carros e variação local da densidade
(mais carros por comprimento onde há engarrafamento) — e como existe propagação de regiões de maior/menor densidade — o comportamento é o de um fluido cujo valor de densidade muda: isto é compressível. Portanto a analogia correta é com um fluido compressível.
Resposta
ii) moléculas de um fluido compressível.