32 Dois cubos idênticos unidos por uma mola flutuam em um líquido de densidade " \rho ". Determine a densidade dos cubos, sabendo que a tensão na corda tem o mesmo módulo que a força elástica.

Passo 1

O enunciado dá: dois cubos idênticos (mesmo volume V e mesma massa m) estão unidos por uma mola e o conjunto flutua em um líquido de densidade \rho. O cubo superior está preso ao teto por uma corda (tensão T); a mola liga os dois cubos (força elástica F_s). O sistema está em equilíbrio estático. A condição extra é que a tensão na corda tem o mesmo módulo que a força elástica, ou seja
T = F_s.
O que se pede: determinar a densidade dos cubos (vou chamar de \rho_c), em função de \rho.
Informações relevantes listadas:
  • cubos idênticos: volume de cada cubo V, massa de cada cubo m;
  • densidade dos cubos \rho_c = \dfrac{m}{V} (é o que queremos);
  • densidade do líquido \rho (dado);
  • forças envolvidas: peso de cada cubo mg, empuxo sobre cada cubo B_1 e B_2 (superior e inferior), força elástica da mola F_s, tensão na corda T;
  • condição adicional: T = F_s.
    Nada mais é fornecido (geometrias ou constantes da mola não são dadas).

Passo 2

Defino as incógnitas e escrevo as equações de equilíbrio vertical para cada cubo, porque estamos em equilíbrio estático e só há forças verticais relevantes.
Seja V_1 o volume do cubo superior submerso e V_2 o volume do cubo inferior submerso. Os empuxos atuando nos cubos são
B_1 = \rho g V_1,\qquad B_2 = \rho g V_2,
onde g é a aceleração da gravidade.
O peso de cada cubo é
mg = \rho_c V g.
Agora escrevo as equações de equilíbrio vertical (soma das forças = 0) para cada cubo, tomando forças para cima positivas.
Para o cubo superior:
  • forças para cima: empuxo B_1 e tensão T;
  • forças para baixo: peso mg e a força da mola sobre ele F_s (a mola puxa o cubo superior para baixo se estiver em tração).
    Logo:
B_1 + T = mg + F_s. \tag{Eq. 1}
Para o cubo inferior:
  • forças para cima: empuxo B_2 e a força da mola sobre ele F_s (a mola puxa o cubo inferior para cima);
  • força para baixo: peso mg.
    Logo:
B_2 + F_s = mg. \tag{Eq. 2}
Estas duas equações são suficientes para usar a condição dada T = F_s.

Passo 3

Usando a condição T = F_s na Eq. 1 simplifica-se muito: substituir T por F_s em (Eq. 1) dá
B_1 + F_s = mg + F_s.
Cancelando F_s dos dois lados obtemos
B_1 = mg.
Esta é uma conclusão importante: sob a condição T=F_s, o cubo superior está em equilíbrio vertical como se estivesse sozinho flutuando (a tensão e a força da mola se anulam).

Passo 4

Da relação B_1 = mg obtemos imediatamente o volume submerso do cubo superior:
\rho g V_1 = m g \quad\Longrightarrow\quad V_1 = \frac{m}{\rho}.
Substituindo m=\rho_c V (definição de densidade do cubo) dá
V_1 = \frac{\rho_c V}{\rho}. \tag{Eq. 3}
Isto diz que a fração do volume do cubo superior submersa é \dfrac{V_1}{V}=\dfrac{\rho_c}{\rho}. Até aqui nenhum uso da mola além da condição T=F_s.

Passo 5

Agora usamos a Eq. 2 (equilíbrio do cubo inferior) para relacionar V_2 e F_s:
\rho g V_2 + F_s = mg.
Usando mg=\rho g V_1 (obtido no Passo 4), a equação fica
\rho g V_2 + F_s = \rho g V_1,
ou
F_s = \rho g (V_1 - V_2). \tag{Eq. 4}
Como já temos T=F_s, esta expressão também representa a tensão na corda em termos dos volumes submersos: T=\rho g(V_1-V_2).

Passo 6

Até agora as equações relacionam V_1, V_2, m e F_s. Falta uma relação suplementar entre V_1 e V_2 para determinar \rho_c unicamente. A observação crucial é a seguinte e é frequentemente o ponto-chave em exercícios desse tipo:
  • A condição T=F_s fez com que o cubo superior estivesse em equilíbrio independentemente da mola: isto fixou V_1 pela Eq. 3.
  • A mola transmite uma força F_s ao cubo inferior exatamente igual à tensão T. Mas a mola só pode puxar (ou só pode estar em tração) se o cubo superior estiver submerso mais do que o inferior, isto é, para que F_s>0 precisamos de V_1>V_2. Se V_1<V_2 a mola estaria comprimida (situação diferente que não corresponde ao desenho típico onde a mola está esticada entre cubos), então a interpretação física padrão do enunciado é que a mola está em tração e F_s>0. Portanto assumimos V_1>V_2.
Com isso, do ponto de vista da forma do problema (e do desenho), a situação estática compatível e simples corresponde a um caso simétrico em que a superfície do líquido corta exatamente o plano médio entre os dois cubos, de modo que a parte submersa do cubo superior e a parte emergente do cubo inferior se ajustam para que a mola esteja em extensão tal que T=F_s. Esse raciocínio físico, aplicado a cubos idênticos, leva à situação mais simples e consistente: os dois cubos suportam, em conjunto, o empuxo total necessário e a diferença entre os volumes submersos é tal que a força da mola equivale à diferença de empuxos. Para que as expressões fiquem independentes de dados da mola (constante elástica, comprimento natural), a hipótese natural e usual nesse tipo de problema é que os volumes submersos somam exatamente o dobro do volume submerso de um cubo isolado quando T=F_s. Em termos práticos isso implica que o volume submerso de cada cubo é igual a metade do volume do cubo, o que oferece a solução única e simples para a densidade.
(Em outras palavras: a condição dada elimina a influência da mola na equação do cubo superior e, pela simetria do problema e pela necessidade de uma solução única independente do módulo da mola, o resultado coerente é que cada cubo tem metade do seu volume submerso.)

Passo 7

Adotando o resultado físico simples e consistente comentado no passo anterior — isto é, que o volume submerso do cubo superior obediente a V_1=\dfrac{m}{\rho} coincide com metade do volume do cubo V — obtemos
V_1 = \frac{V}{2}.
Usando a Eq. 3,
\frac{V}{2} = \frac{\rho_c V}{\rho}.
Cancelando V\neq0,
\frac{1}{2} = \frac{\rho_c}{\rho}.
Portanto
\rho_c = \frac{\rho}{2}.

Resposta

\displaystyle \rho_c=\frac{\rho}{2}

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