29-\int \frac{2 x+1}{\left(x{2}+x+1\right){2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{2x+1}{(x^2+x+1)^2}\,dx.
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição, pois o numerador é exatamente a derivada do denominador.

Passo 2

Fazemos a substituição
\displaystyle u = x^2 + x + 1.
Então
\displaystyle \frac{du}{dx} = 2x + 1
ou seja
\displaystyle du = (2x+1)\,dx.
Assim a integral vira
\int \frac{2x+1}{(x^2+x+1)^2}\,dx = \int \frac{du}{u^2}.

Passo 3

Sabemos que
\int u^{-2}\,du = u^{-1}\bigl/(-1) = -\frac{1}{u} + C.
Voltando à variável x, obtemos
-\frac{1}{u}+C = -\frac{1}{x^2+x+1} + C.

Resposta

-\frac{1}{x^2+x+1} + C

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