39-\int x \cdot \operatorname{sec} ^{2}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x \,\operatorname{sec}^{2}(x)\,dx
Usaremos o método de integração por partes, que se baseia na fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = x \quad\text{e}\quad dv = \operatorname{sec}^{2}(x)\,dx.
Então
du = dx \quad\text{e}\quad v = \int \operatorname{sec}^{2}(x)\,dx = \tan(x).

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes, temos
\int x\,\operatorname{sec}^{2}(x)\,dx = x\,\tan(x) - \int \tan(x)\,dx.

Passo 4

Falta calcular \displaystyle \int \tan(x)\,dx. Como \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}, reconhecemos a derivada de \cos(x) e obtemos
\int \tan(x)\,dx = -\ln\bigl|\cos(x)\bigr| + C_{1}.

Passo 5

Substituindo de volta,
\int x\,\operatorname{sec}^{2}(x)\,dx = x\,\tan(x) \;-\;\bigl(-\ln\bigl|\cos(x)\bigr|\bigr) + C = x\,\tan(x) + \ln\bigl|\cos(x)\bigr| + C.

Resposta

x\,\tan(x) + \ln\bigl|\cos(x)\bigr| + C

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