Dado o sistema LTI discreto descrito pela equação à diferença:
y[n]+\frac{1}{4} y[n-1]=x[n]+\frac{1}{5} x[n-1]
a) (1,5 pt) Encontre a função de transferência \mathrm{H}(\mathrm{z})
b) (1,0 pt) Encontre os polos do sistema
c) (1,0 \mathrm{pt}) Encontre a região de convergência do sistema e diga se é estável
d) (1,5 \mathrm{pt}) Encontre h[n] quando a entrada x[n]=\delta[n]

Passo 1

O enunciado dá um sistema LTI discreto descrito pela equação à diferença
y[n] + \tfrac{1}{4}\,y[n-1] \;=\; x[n] + \tfrac{1}{5}\,x[n-1]
Os itens são:
a) achar a função de transferência H(z)=\tfrac{Y(z)}{X(z)},
b) encontrar os polos,
c) determinar a região de convergência (ROC) e ver se o sistema é estável,
d) obter h[n], resposta ao impulso x[n]=\delta[n].

Passo 2

Aplicamos a transformada Z à equação à diferença, usando \mathcal{Z}\{y[n-1]\}=z^{-1}Y(z) e idem para x[n-1]:
Y(z) + \tfrac{1}{4}z^{-1}Y(z) \;=\; X(z) + \tfrac{1}{5}z^{-1}X(z).
Colocando em evidência Y(z) e X(z) obtemos
Y(z)\bigl(1 + \tfrac{1}{4}z^{-1}\bigr) \;=\; X(z)\bigl(1 + \tfrac{1}{5}z^{-1}\bigr).

Passo 3

Da relação do passo anterior segue a função de transferência:
H(z) \;=\; \frac{Y(z)}{X(z)} \;=\; \frac{1 + \tfrac{1}{5}z^{-1}}{1 + \tfrac{1}{4}z^{-1}}.

Passo 4

Os polos são as raízes do denominador 1 + \tfrac{1}{4}z^{-1}=0.
Resolvendo \tfrac{1}{4}z^{-1}=-1
z^{-1}=-4 \quad\Longrightarrow\quad z = -\tfrac{1}{4}.

Passo 5

Como o sistema é causal (equação recursiva para n\ge0), a ROC é exterior ao pólo:
\mathrm{ROC}:\; |z| > \tfrac{1}{4}.
Essa região inclui a circunferência unitária |z|=1, logo o sistema é estável (todos os polos estão em |z|<1 e a ROC contém a fronteira unitária).

Passo 6

Para achar h[n] usamos a expansão em série de potências de z^{-1}. Em \mathrm{ROC}\colon|z|>1/4 vale
\frac{1}{1 + \tfrac{1}{4}z^{-1}} =\sum_{k=0}^{\infty}\bigl(-\tfrac{1}{4}z^{-1}\bigr)^{k}.
Multiplicando por 1+\tfrac{1}{5}z^{-1} e extraindo o coeficiente de z^{-n} resulta
h[n] =\delta[n] +\tfrac{1}{5}\,(-\tfrac{1}{4})^{n-1}u[n-1].
Isto é,
h[0]=1, \quad h[n]=\frac{(-1)^{n}}{5\cdot4^{n}}\quad(n\ge1).

Resposta

a) \displaystyle H(z)=\frac{1 + \tfrac{1}{5}z^{-1}}{1 + \tfrac{1}{4}z^{-1}}
b) Pólo em z=-\tfrac{1}{4}
c) \mathrm{ROC}:\;|z|>\tfrac{1}{4}; como inclui |z|=1, o sistema é estável
d) \displaystyle h[n]=\delta[n]+\tfrac{1}{5}\,\bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr)^{n-1}u[n-1] (ou, equivalentemente, h[0]=1, h[n]=(-1)^{n}/(5\cdot4^{n}) para n\ge1).

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