Dado o sistema LTI discreto descrito pela equação à diferença:
a) (1,5 pt) Encontre a função de transferência
b) (1,0 pt) Encontre os polos do sistema
c)
Encontre a região de convergência do sistema e diga se é estável
d)
Encontre
quando a entrada
a) (1,5 pt) Encontre a função de transferência
b) (1,0 pt) Encontre os polos do sistema
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá um sistema LTI discreto descrito pela equação à diferença
Os itens são:
a) achar a função de transferência ,
b) encontrar os polos,
c) determinar a região de convergência (ROC) e ver se o sistema é estável,
d) obter , resposta ao impulso
.
a) achar a função de transferência
b) encontrar os polos,
c) determinar a região de convergência (ROC) e ver se o sistema é estável,
d) obter
Passo 2
Aplicamos a transformada
à equação à diferença, usando
e idem para
:
Colocando em evidência
e
obtemos
Passo 3
Da relação do passo anterior segue a função de transferência:
Passo 4
Os polos são as raízes do denominador
.
Resolvendo dá
Resolvendo
Passo 5
Como o sistema é causal (equação recursiva para
), a ROC é exterior ao pólo:
Essa região inclui a circunferência unitária
, logo o sistema é estável (todos os polos estão em
e a ROC contém a fronteira unitária).
Passo 6
Para achar
usamos a expansão em série de potências de
. Em
vale
Multiplicando por
e extraindo o coeficiente de
resulta
Isto é,
Resposta
a)
b) Pólo em
c) ; como inclui
, o sistema é estável
d) (ou, equivalentemente,
,
para
).
b) Pólo em
c)
d)