Questão 44

Ainda não respondida
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Seja x \in \mathbb{R} e a matriz
A=\left[\begin{array}{cc} 2^{x} & x^{2}+1 \\\\ 2^{x} & \log _{2} 5 \end{array}\right]
Assinale a opção correta.
Escolha uma opção:
Apenas para x>0, A possui inversa.
\forall x \in \mathbb{R}, A possui inversa.
Para x=\log _{2} 5, A não possui inversa.
Não existe valor de x para o qual A possui inversa.
São apenas dois os valores de x para os quais A possui inversa.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 2^{x} & x^{2}+1\\\\ 2^{x} & \log_{2}5 \end{pmatrix}
e pede em quais valores de x\in\mathbb{R} ela possui inversa. O conteúdo é “matriz inversível” e vamos usar o cálculo do determinante para decidir.

Passo 2

O determinante de A é
\det(A) =2^{x}\cdot\log_{2}5 -2^{x}\cdot(x^{2}+1) =2^{x}\,\bigl(\log_{2}5-(x^{2}+1)\bigr).

Passo 3

Note que 2^{x}>0 para todo x. Logo
\det(A)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \log_{2}5-(x^{2}+1)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}=\log_{2}5-1=\log_{2}\!\bigl(\tfrac{5}{2}\bigr).
Como \log_{2}(5/2)>0, há duas soluções reais
x=\pm\sqrt{\log_{2}(5/2)}.

Passo 4

Portanto \det(A)\neq0 para todo x exceto x=\pm\sqrt{\log_{2}(5/2)}. Isso significa que A é invertível para todos os x\in\mathbb{R} salvo nesses dois valores.

Passo 5

Nenhuma das afirmações dadas coincide com este resultado:
– não é “apenas para x>0”;
– não é “para todo x”;
– não é “para x=\log_{2}5”;
– não é “nenhum x” (há infinitos x invertíveis);
– e não é “são apenas dois valores de x para os quais A possui inversa” (na verdade são infinitos).

Resposta

Nenhuma das alternativas está correta.

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