[29 \mathrm{pts}] Considere f(x)=\frac{3}{x^{3}+x^{2}}
(a) [12 pts] Obtenha a decomposição da função racional f(x) em frações parciais.
(b) [5 pts] Determine se a integral \int_{0}^{2} f(x) d x é imprópria. Justifique precisa e claramente SEM CALCULAR a integral.
(c) [12 pts] Determine se a integral \int_{2}^{\infty} f(x) d x converge ou não. Se convergente, determine o valor da integral.
Passo 1
O enunciado dá a função racional
f(x)=\frac{3}{x^{3}+x^{2}}
e pede três coisas:
(a) Obter a decomposição em frações parciais de f(x).
(b) Determinar se a integral \displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,dx é imprópria, justificando de forma precisa e sem calcular a integral.
(c) Verificar se a integral imprópria \displaystyle\int_{2}^{\infty} f(x)\,dx converge e, se convergir, calcular o seu valor.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: \;f(x)=\dfrac{3}{x^{3}+x^{2}}\;. Observe que o denominador pode anular-se para certos x, o que pode causar descontinuidade ou singularidade da função (isso será usado nas partes (b) e (c) quando for pertinente).
Passo 2
Fatoração do denominador e forma da decomposição parcial (explicação do porquê da forma escolhida).
Primeiro fatoramos o denominador:
x^{3}+x^{2}=x^{2}(x+1).
Quando um denominador tem um fator linear repetido x^{2} e um fator linear distinto (x+1), a forma geral da decomposição em frações parciais é
onde A,B,C são constantes a determinar. Justificativa didática: para cada fator x de multiplicidade 2 incluímos termos \dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^{2}}; para o fator simples (x+1) incluímos \dfrac{C}{x+1}.
Passo 3
Limpeza dos denominadores e obtenção da identidade polinomial (passo algébrico).
Multiplicamos ambos os lados por x^{2}(x+1) para eliminar os denominadores:
3 = A\cdot x(x+1) + B\cdot (x+1) + C\cdot x^{2}.
Agora expandimos os termos do lado direito para colocá‑los como um polinômio em x:
A(x^{2}+x)+B(x+1)+C x^{2} = (A+C)x^{2} + (A+B)x + B.
Logo a identidade polinomial é
3 = (A+C)x^{2} + (A+B)x + B.
Passo 4
Determinação das constantes A,B,C\) resolvendo o sistema obtido pela igualdade de coeficientes (e com atalho avaliando em valores convenientes).
A igualdade de polinômios válida para todo \(x\) implica igualdade dos coeficientes. Isso dá o sistema
\[\begin{cases} A + C = 0 &\text{coeficiente de }x^{2},\\[4pt] A + B = 0 &\text{coeficiente de }x,\\[4pt] B = 3 &\text{termo constante}. \end{cases}
Da terceira equação vem imediatamente \;B=3\;\]. Substituindo em \(\;A+B=0\; obtemos A=-B=-3. Finalmente, de A+C=0 vem C=-A=3.
Como verificação rápida (método de valores específicos): se colocarmos x=0 na identidade limpa, obtemos 3=B (mesmo resultado); se colocarmos x=-1 obtemos 3=C.
Portanto os coeficientes são
A=-3,\qquad B=3,\qquad C=3.]
Passo 5
Escrever a decomposição final (resumo do que encontramos).
Substituindo os valores de A,B,C na forma parcial, obtemos
Essa é a decomposição em frações parciais pedida na parte (a).
Passo 6
Parte (b): discutir se \displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,dx é uma integral imprópria, justificando sem calcular a integral.
Definição relevante: uma integral \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx é dita imprópria se f for descontínua ou não definida em algum ponto do intervalo [a,b] ou se o intervalo for não limitado (caso de infinito). Aqui o intervalo é [0,2] (fechado e finito), então só precisamos verificar continuidade/definição de f em todo o intervalo.
Observando a expressão original, o denominador x^{2}(x+1) anula‑se em x=0 (e também em x=-1, mas -1 não está no intervalo [0,2]). Logo f não está definida em x=0. Pela decomposição, perto de x=0 o termo dominante é \dfrac{3}{x^{2}}, que tende a +\infty quando x\to0^{+}. Assim f tem uma descontinuidade não-removível (singularidade de ordem 2) em x=0.
Conclusão: a integral \displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,dx é imprópria porque f é não definida e não limitada em x=0. (Observação: foi pedida apenas a identificação como imprópria e justificativa; não foi necessário calcular a integral.)
Passo 7
Parte (c): analisar a integral imprópria \displaystyle\int_{2}^{\infty} f(x)\,dx. Estratégia: usar a decomposição para integrar termo a termo, definir a integral imprópria como limite de integrais sobre intervalos finitos e avaliar o limite.
Definição e método: a integral imprópria sobre [2,\infty) é definida por
(a) \displaystyle \frac{3}{x^{3}+x^{2}}=-\frac{3}{x}+\frac{3}{x^{2}}+\frac{3}{x+1}.\n(b) Sim. \displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,dx é imprópria, pois f não está definida em x=0 (singularidade do tipo 3/x^{2}).\n(c) A integral converge e \displaystyle\int_{2}^{\infty} f(x)\,dx=\frac{3}{2}-3\ln\!\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr).