[29 \mathrm{pts}] Considere f(x)=\frac{3}{x^{3}+x^{2}}
(a) [12 pts] Obtenha a decomposição da função racional f(x) em frações parciais.
(b) [5 pts] Determine se a integral \int_{0}^{2} f(x) d x é imprópria. Justifique precisa e claramente SEM CALCULAR a integral.
(c) [12 pts] Determine se a integral \int_{2}^{\infty} f(x) d x converge ou não. Se convergente, determine o valor da integral.

Passo 1

O enunciado dá a função racional
f(x)=\frac{3}{x^{3}+x^{2}}
e pede três coisas:
  1. (a) Obter a decomposição em frações parciais de f(x).
  2. (b) Determinar se a integral \displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,dx é imprópria, justificando de forma precisa e sem calcular a integral.
  3. (c) Verificar se a integral imprópria \displaystyle\int_{2}^{\infty} f(x)\,dx converge e, se convergir, calcular o seu valor.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\;f(x)=\dfrac{3}{x^{3}+x^{2}}\;. Observe que o denominador pode anular-se para certos x, o que pode causar descontinuidade ou singularidade da função (isso será usado nas partes (b) e (c) quando for pertinente).

Passo 2

Fatoração do denominador e forma da decomposição parcial (explicação do porquê da forma escolhida).
Primeiro fatoramos o denominador:
x^{3}+x^{2}=x^{2}(x+1).
Quando um denominador tem um fator linear repetido x^{2} e um fator linear distinto (x+1), a forma geral da decomposição em frações parciais é
\frac{3}{x^{2}(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x+1},
onde A,B,C são constantes a determinar. Justificativa didática: para cada fator x de multiplicidade 2 incluímos termos \dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^{2}}; para o fator simples (x+1) incluímos \dfrac{C}{x+1}.

Passo 3

Limpeza dos denominadores e obtenção da identidade polinomial (passo algébrico).
Multiplicamos ambos os lados por x^{2}(x+1) para eliminar os denominadores:
3 = A\cdot x(x+1) + B\cdot (x+1) + C\cdot x^{2}.
Agora expandimos os termos do lado direito para colocá‑los como um polinômio em x:
A(x^{2}+x)+B(x+1)+C x^{2} = (A+C)x^{2} + (A+B)x + B.
Logo a identidade polinomial é
3 = (A+C)x^{2} + (A+B)x + B.

Passo 4

Determinação das constantes A,B,C\) resolvendo o sistema obtido pela igualdade de coeficientes (e com atalho avaliando em valores convenientes). A igualdade de polinômios válida para todo \(x\) implica igualdade dos coeficientes. Isso dá o sistema \[\begin{cases} A + C = 0 &\text{coeficiente de }x^{2},\\[4pt] A + B = 0 &\text{coeficiente de }x,\\[4pt] B = 3 &\text{termo constante}. \end{cases}
Da terceira equação vem imediatamente \;B=3\;\]. Substituindo em \(\;A+B=0\; obtemos A=-B=-3. Finalmente, de A+C=0 vem C=-A=3.
Como verificação rápida (método de valores específicos): se colocarmos x=0 na identidade limpa, obtemos 3=B (mesmo resultado); se colocarmos x=-1 obtemos 3=C.
Portanto os coeficientes são
A=-3,\qquad B=3,\qquad C=3.]

Passo 5

Escrever a decomposição final (resumo do que encontramos).
Substituindo os valores de A,B,C na forma parcial, obtemos
\frac{3}{x^{3}+x^{2}}=\frac{3}{x^{2}(x+1)}=-\frac{3}{x}+\frac{3}{x^{2}}+\frac{3}{x+1}.
Essa é a decomposição em frações parciais pedida na parte (a).

Passo 6

Parte (b): discutir se \displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,dx é uma integral imprópria, justificando sem calcular a integral.
Definição relevante: uma integral \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx é dita imprópria se f for descontínua ou não definida em algum ponto do intervalo [a,b] ou se o intervalo for não limitado (caso de infinito). Aqui o intervalo é [0,2] (fechado e finito), então só precisamos verificar continuidade/definição de f em todo o intervalo.
Observando a expressão original, o denominador x^{2}(x+1) anula‑se em x=0 (e também em x=-1, mas -1 não está no intervalo [0,2]). Logo f não está definida em x=0. Pela decomposição, perto de x=0 o termo dominante é \dfrac{3}{x^{2}}, que tende a +\infty quando x\to0^{+}. Assim f tem uma descontinuidade não-removível (singularidade de ordem 2) em x=0.
Conclusão: a integral \displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,dx é imprópria porque f é não definida e não limitada em x=0. (Observação: foi pedida apenas a identificação como imprópria e justificativa; não foi necessário calcular a integral.)

Passo 7

Parte (c): analisar a integral imprópria \displaystyle\int_{2}^{\infty} f(x)\,dx. Estratégia: usar a decomposição para integrar termo a termo, definir a integral imprópria como limite de integrais sobre intervalos finitos e avaliar o limite.
Definição e método: a integral imprópria sobre [2,\infty) é definida por
\int_{2}^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{b\to\infty} \int_{2}^{b} f(x)\,dx,
se esse limite existir finito.
Usamos a decomposição encontrada:
f(x)=-\frac{3}{x}+\frac{3}{x^{2}}+\frac{3}{x+1}.
Integramos termo a termo. Recordando fórmulas básicas:
\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|,\qquad \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\\ \text{(para }n\neq -1).
Aplicando essas fórmulas:
\int \left(-\frac{3}{x}\right)dx = -3\ln|x|, \qquad \int \frac{3}{x^{2}}dx = 3\int x^{-2}dx = 3\left(-x^{-1}\right)=-\frac{3}{x},
\int \frac{3}{x+1}dx = 3\ln|x+1|.
Portanto uma primitiva F(x) de f é
F(x) = -3\ln x -\frac{3}{x} + 3\ln(x+1) + C.
Para simplificar a expressão útil para avaliar limites, podemos reescrever sem a constante:
F(x)=3\Bigl(\ln\!\bigl(\tfrac{x+1}{x}\bigr)-\frac{1}{x}\Bigr).

Passo 8

Avaliação do limite quando b\to\infty e cálculo do valor da integral (determinando convergência).
Definimos
\int_{2}^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{b\to\infty} \bigl(F(b)-F(2)\bigr).
Avaliamo-s F(b) quando b\to\infty. Observe que
\ln\!\bigl(\tfrac{b+1}{b}\bigr)=\ln\!\bigl(1+\tfrac{1}{b}\bigr)\xrightarrow[b\to\infty]{}0, \qquad \frac{1}{b}\xrightarrow[b\to\infty]{}0.
Logo F(b)\to 3(0-0)=0 quando b\to\infty. Portanto o limite existe e é finito, o que mostra que a integral converge.
O valor da integral é
\int_{2}^{\infty} f(x)\,dx = 0 - F(2) = -F(2).
Calculamos F(2):
F(2)=3\Bigl(\ln\!\bigl(\tfrac{2+1}{2}\bigr)-\frac{1}{2}\Bigr) =3\Bigl(\ln\!\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)-\frac{1}{2}\Bigr).
Portanto
\int_{2}^{\infty} f(x)\,dx = -3\Bigl(\ln\!\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)-\frac{1}{2}\Bigr) = \frac{3}{2}-3\ln\!\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr).

Resposta

(a) \displaystyle \frac{3}{x^{3}+x^{2}}=-\frac{3}{x}+\frac{3}{x^{2}}+\frac{3}{x+1}.\n(b) Sim. \displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,dx é imprópria, pois f não está definida em x=0 (singularidade do tipo 3/x^{2}).\n(c) A integral converge e \displaystyle\int_{2}^{\infty} f(x)\,dx=\frac{3}{2}-3\ln\!\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr).

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