Encontre, caso existam, as assíntotas horizontais e verticais de cada gráfico das funções abaixo:
l(x)=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{2+x}-\frac{1}{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá a função
l(x)=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{2+x}-\frac{1}{2}\right)
e pede para encontrar, caso existam, as assíntotas horizontais e verticais do gráfico de l.
Informações dadas e observações imediatas (sem resolver nada ainda):
  • A função está escrita como produto de \frac{1}{x} por uma diferença de frações; portanto há pontos onde a expressão original não está definida (quando algum denominador é zero).
  • Precisamos identificar: (i) possíveis assíntotas verticais — geralmente onde a função tende a \pm\infty ao se aproximar de algum x_0; (ii) possíveis assíntotas horizontais — limites da função quando x\to\pm\infty.
  • Domínio imediato: x\neq 0 (por causa de \frac{1}{x}) e x\neq -2 (por causa de \frac{1}{2+x}).

Passo 2

Vamos simplificar a expressão algébrica para enxergar melhor o comportamento. Primeiro calculo a diferença dentro dos parênteses:
\frac{1}{2+x}-\frac{1}{2}=\frac{2-(2+x)}{2(2+x)}=\frac{-x}{2(2+x)}.
Agora multiplico por \frac{1}{x}:
l(x)=\frac{1}{x}\cdot\frac{-x}{2(2+x)}=\frac{-1}{2(2+x)}.
Explicando a técnica: cancelei o fator \,x numerador/denominador porque, algebricamente, \frac{1}{x}\cdot\frac{-x}{\cdots}=-\frac{1}{\cdots} desde que x\neq 0. O cancelamento simplifica a escrita, mas sempre devo lembrar que o ponto x=0 pertence ao domínio proibido da expressão original — portanto é possivelmente uma descontinuidade removível (um “buraco”).

Passo 3

Determino o domínio e tipo de descontinuidade em x=0 e x=-2.
  • Pelo enunciado original, x\neq 0 e x\neq -2.
  • A expressão simplificada é
l(x)=-\frac{1}{2(2+x)}=-\frac{1}{4+2x},
que é válida para todos x exceto onde os denominadores anteriores anulam: x\neq 0 e x\neq -2.
Vamos ver o comportamento em cada ponto:
Para x\to 0, uso a expressão simplificada (válida para limites) e obtenho
\lim_{x\to 0} l(x) = -\frac{1}{4+2\cdot 0}=-\frac{1}{4}.
Como o limite existe e é finito, mas a função original não está definida em x=0, isso é uma descontinuidade removível (um buraco) em x=0 — não é assíntota vertical.

Passo 4

Agora trato do ponto x=-2. Para ver se é assíntota vertical, calculo os limites laterais \lim_{x\to -2^\pm} l(x). Usando a forma simplificada:
l(x)=-\frac{1}{2(2+x)}.
Faço uma análise de sinal próxima a x=-2. Escrevo x=-2+h com h\to 0. Então 2+x=2+(-2+h)=h e
l(x)=-\frac{1}{2h}.
  • Se x\to -2^+ então h>0 pequeno, 2h>0 pequeno, logo -\frac{1}{2h}\to -\infty.
  • Se x\to -2^- então h<0 pequeno, 2h<0 pequeno, logo -\frac{1}{2h}\to +\infty.
    Portanto os limites laterais são infinitos com sinais opostos; isso caracteriza uma assíntota vertical em x=-2.

Passo 5

Procuro assíntotas horizontais calculando os limites em \pm\infty. Com a forma simplificada:
l(x)=-\frac{1}{2(2+x)}.
Para x\to +\infty, o denominador 2+x\to +\infty, então -\frac{1}{2(2+x)}\to 0.
Para x\to -\infty, o denominador 2+x\to -\infty, então -\frac{1}{2(2+x)}\to 0 também.
Formalmente, uma forma rápida é observar que para grandes |x| temos 2+x\sim x, logo l(x)\sim -\frac{1}{2x}\to 0. Assim a reta y=0 é assíntota horizontal dos dois lados.

Passo 6

Resumo dos resultados já justificados:
  • Há uma descontinuidade removível (buraco) em x=0 com limite -\tfrac{1}{4}, portanto x=0 não é assíntota vertical.
  • Há assíntota vertical em x=-2 (limites laterais tendem a \pm\infty).
  • Há assíntota horizontal y=0 (limites em \pm\infty iguais a 0).

Resposta

Assíntota vertical: x=-2
Assíntota horizontal: y=0

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