Encontre, caso existam, as assíntotas horizontais e verticais de cada gráfico das funções abaixo:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar, caso existam, as assíntotas horizontais e verticais do gráfico de
.
Informações dadas e observações imediatas (sem resolver nada ainda):
Informações dadas e observações imediatas (sem resolver nada ainda):
- A função está escrita como produto de
por uma diferença de frações; portanto há pontos onde a expressão original não está definida (quando algum denominador é zero). - Precisamos identificar: (i) possíveis assíntotas verticais — geralmente onde a função tende a
ao se aproximar de algum ; (ii) possíveis assíntotas horizontais — limites da função quando . - Domínio imediato:
(por causa de ) e (por causa de ).
Passo 2
Vamos simplificar a expressão algébrica para enxergar melhor o comportamento. Primeiro calculo a diferença dentro dos parênteses:
Agora multiplico por
:
Explicando a técnica: cancelei o fator
numerador/denominador porque, algebricamente,
desde que
. O cancelamento simplifica a escrita, mas sempre devo lembrar que o ponto
pertence ao domínio proibido da expressão original — portanto é possivelmente uma descontinuidade removível (um “buraco”).
Passo 3
Determino o domínio e tipo de descontinuidade em
e
.
- Pelo enunciado original,
e . - A expressão simplificada é
que é válida para todos
exceto onde os denominadores anteriores anulam:
e
.
Vamos ver o comportamento em cada ponto:
Para , uso a expressão simplificada (válida para limites) e obtenho
Vamos ver o comportamento em cada ponto:
Para
Como o limite existe e é finito, mas a função original não está definida em
, isso é uma descontinuidade removível (um buraco) em
— não é assíntota vertical.
Passo 4
Agora trato do ponto
. Para ver se é assíntota vertical, calculo os limites laterais
. Usando a forma simplificada:
Faço uma análise de sinal próxima a
. Escrevo
com
. Então
e
- Se
então pequeno, pequeno, logo . - Se
então pequeno, pequeno, logo .
Portanto os limites laterais são infinitos com sinais opostos; isso caracteriza uma assíntota vertical em.
Passo 5
Procuro assíntotas horizontais calculando os limites em
. Com a forma simplificada:
Para
, o denominador
, então
.
Para , o denominador
, então
também.
Formalmente, uma forma rápida é observar que para grandes temos
, logo
. Assim a reta
é assíntota horizontal dos dois lados.
Para
Formalmente, uma forma rápida é observar que para grandes
Passo 6
Resumo dos resultados já justificados:
- Há uma descontinuidade removível (buraco) em
com limite , portanto não é assíntota vertical. - Há assíntota vertical em
(limites laterais tendem a ). - Há assíntota horizontal
(limites em iguais a ).
Resposta
Assíntota vertical:
Assíntota horizontal:
Assíntota horizontal: