Considere as integais a seguir, e mostre seu trabalho PRECISA e CUIDADOSAMENTE.
Mostre que \int \tan ^{2} \theta \operatorname{sec} \theta d \theta=\frac{1}{2} \operatorname{sec} \theta \tan \theta-\frac{1}{2} \ln |\operatorname{sec} \theta+\tan \theta|+C
(Dica 1(c): integrais por partes)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \tan^{2}\theta \operatorname{sec}\theta \, d\theta
e mostrar cuidadosamente que o resultado é
\frac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta-\frac{1}{2}\ln|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta|+C.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A integral a avaliar é \displaystyle \int \tan^{2}\theta \operatorname{sec}\theta \, d\theta.
  • A dica indica usar integrais por partes em algum passo.
  • Podemos usar identidades trigonométricas elementares e técnicas padrão de integração (por exemplo: integração por partes, identidades trigonométricas e uma primitiva conhecida de \operatorname{sec}\theta).

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a integranda usando uma identidade trigonométrica conhecida. A identidade básica é
\tan^{2}\theta = \operatorname{sec}^{2}\theta - 1.
Essa identidade vem de \operatorname{sec}^{2}\theta = 1+\tan^{2}\theta rearranjando. Aplicando-a dentro da integral:
\tan^{2}\theta\operatorname{sec}\theta = (\operatorname{sec}^{2}\theta-1)\operatorname{sec}\theta = \operatorname{sec}^{3}\theta - \operatorname{sec}\theta.
Portanto a integral original se transforma em
\int \tan^{2}\theta \operatorname{sec}\theta \, d\theta = \int \operatorname{sec}^{3}\theta \, d\theta - \int \operatorname{sec}\theta \, d\theta.
Agora reduzimos o problema a calcular \displaystyle \int \operatorname{sec}^{3}\theta \, d\theta e \displaystyle \int \operatorname{sec}\theta \, d\theta.

Passo 3

Vamos tratar primeiro de \displaystyle \int \operatorname{sec}^{3}\theta \, d\theta. A técnica clássica é usar integração por partes escrevendo \operatorname{sec}^{3}\theta=\operatorname{sec}\theta\cdot\operatorname{sec}^{2}\theta e escolhendo as partes assim:
  • u = \operatorname{sec}\theta (então du = \operatorname{sec}\theta\tan\theta \, d\theta),
  • dv = \operatorname{sec}^{2}\theta \, d\theta (então v = \tan\theta, porque \frac{d}{d\theta}\tan\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta).
Lembrando a fórmula da integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.

Passo 4

Aplicando integração por partes com as escolhas acima:
\int \operatorname{sec}^{3}\theta \, d\theta = \operatorname{sec}\theta\cdot\tan\theta - \int \tan\theta\cdot(\operatorname{sec}\theta\tan\theta)\, d\theta.
No integrando da segunda parcela temos \tan\theta\cdot\operatorname{sec}\theta\tan\theta = \operatorname{sec}\theta\tan^{2}\theta. Assim
\int \operatorname{sec}^{3}\theta \, d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta - \int \operatorname{sec}\theta\tan^{2}\theta \, d\theta.

Passo 5

Usamos de novo a identidade \tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta-1 dentro da última integral:
\int \operatorname{sec}\theta\tan^{2}\theta \, d\theta = \int \operatorname{sec}\theta(\operatorname{sec}^{2}\theta-1)\, d\theta = \int \operatorname{sec}^{3}\theta \, d\theta - \int \operatorname{sec}\theta \, d\theta.
Substituindo isso em \int \operatorname{sec}^{3}\theta \, d\theta do Passo 4 obtemos
\int \operatorname{sec}^{3}\theta \, d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta - \Bigl(\int \operatorname{sec}^{3}\theta \, d\theta - \int \operatorname{sec}\theta \, d\theta\Bigr).
Distribuindo o sinal:
\int \operatorname{sec}^{3}\theta \, d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta - \int \operatorname{sec}^{3}\theta \, d\theta + \int \operatorname{sec}\theta \, d\theta.
Agora colocamos os termos \displaystyle \int \operatorname{sec}^{3}\theta \, d\theta do mesmo lado:
2\int \operatorname{sec}^{3}\theta \, d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta + \int \operatorname{sec}\theta \, d\theta.
Logo
\int \operatorname{sec}^{3}\theta \, d\theta = \frac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \frac{1}{2}\int \operatorname{sec}\theta \, d\theta.

Passo 6

Agora precisamos da primitiva de \operatorname{sec}\theta. Vou mostrar o truque clássico para obter
\int \operatorname{sec}\theta \, d\theta = \ln|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta| + C.
Demonstração rápida: considere a função w(\theta)=\operatorname{sec}\theta+\tan\theta. Sua derivada é
\frac{d}{d\theta}(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta)=\operatorname{sec}\theta\tan\theta+\operatorname{sec}^{2}\theta=\operatorname{sec}\theta(\tan\theta+\operatorname{sec}\theta)=\operatorname{sec}\theta\cdot w(\theta).
Isso significa que
\frac{w'(\theta)}{w(\theta)}=\operatorname{sec}\theta,
portanto integrando ambos os lados em \theta
\int \operatorname{sec}\theta \, d\theta = \int \frac{w'(\theta)}{w(\theta)} \, d\theta = \ln|w(\theta)| + C = \ln|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta| + C.
(Esse é o motivo do truque de multiplicar \operatorname{sec}\theta por \dfrac{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta} em outras abordagens.)

Passo 7

Agora voltamos para a integral original. Do Passo 2 temos
\int \tan^{2}\theta \operatorname{sec}\theta \, d\theta = \int \operatorname{sec}^{3}\theta \, d\theta - \int \operatorname{sec}\theta \, d\theta.
Substituímos a expressão do Passo 5 para \displaystyle \int \operatorname{sec}^{3}\theta \, d\theta:
\int \tan^{2}\theta \operatorname{sec}\theta \, d\theta = \left(\frac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \frac{1}{2}\int \operatorname{sec}\theta \, d\theta\right) - \int \operatorname{sec}\theta \, d\theta.
Agrupando as parcelas com \displaystyle \int \operatorname{sec}\theta \, d\theta:
\int \tan^{2}\theta \operatorname{sec}\theta \, d\theta = \frac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta - \frac{1}{2}\int \operatorname{sec}\theta \, d\theta.
Finalmente usamos o resultado do Passo 6 para \displaystyle \int \operatorname{sec}\theta \, d\theta:
\int \tan^{2}\theta \operatorname{sec}\theta \, d\theta = \frac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta - \frac{1}{2}\ln|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta| + C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta-\frac{1}{2}\ln|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta|+C

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