Considere as integais a seguir, e mostre seu trabalho PRECISA e CUIDADOSAMENTE.
Mostre que
(Dica 1(c): integrais por partes)
Mostre que
(Dica 1(c): integrais por partes)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
e mostrar cuidadosamente que o resultado é
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A integral a avaliar é
. - A dica indica usar integrais por partes em algum passo.
- Podemos usar identidades trigonométricas elementares e técnicas padrão de integração (por exemplo: integração por partes, identidades trigonométricas e uma primitiva conhecida de
).
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a integranda usando uma identidade trigonométrica conhecida. A identidade básica é
Essa identidade vem de
rearranjando. Aplicando-a dentro da integral:
Portanto a integral original se transforma em
Agora reduzimos o problema a calcular
e
.
Passo 3
Vamos tratar primeiro de
. A técnica clássica é usar integração por partes escrevendo
e escolhendo as partes assim:
-
(então ), -
(então , porque ).
Lembrando a fórmula da integração por partes:
Passo 4
Aplicando integração por partes com as escolhas acima:
No integrando da segunda parcela temos
. Assim
Passo 5
Usamos de novo a identidade
dentro da última integral:
Substituindo isso em
do Passo 4 obtemos
Distribuindo o sinal:
Agora colocamos os termos
do mesmo lado:
Logo
Passo 6
Agora precisamos da primitiva de
. Vou mostrar o truque clássico para obter
Demonstração rápida: considere a função
. Sua derivada é
Isso significa que
portanto integrando ambos os lados em
(Esse é o motivo do truque de multiplicar
por
em outras abordagens.)
Passo 7
Agora voltamos para a integral original. Do Passo 2 temos
Substituímos a expressão do Passo 5 para
:
Agrupando as parcelas com
:
Finalmente usamos o resultado do Passo 6 para
: