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Podemos definir a dispersão em função da diferença entre o desvio máximo e o desvio mínimo sofridos por um conjunto de raios luminosos. O índice de refração para a luz violeta é maior do que o índice de refração para a luz vermelha. Quando as cores da luz branca se separam ao atravessar um prisma, diga quais são as cores que sofrem o maior e o menor desvio.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão:
  • Informação: “Podemos definir a dispersão em função da diferença entre o desvio máximo e o desvio mínimo sofridos por um conjunto de raios luminosos.”
  • Informação: “O índice de refração para a luz violeta é maior do que o índice de refração para a luz vermelha.” Ou seja, n_{\text{violeta}}>n_{\text{vermelha}}.
  • Situação: Um feixe de luz branca atravessa um prisma e as cores se separam (dispersão).
  • Pergunta: Quais cores sofrem o maior desvio e o menor desvio ao passar pelo prisma?

Passo 2

Conceito básico de refração (fórmula e significado das variáveis).
  • Quando um raio passa de um meio para outro, vale a Lei de Snell:
n_1\sin(i_1)=n_2\sin(r_1),
onde:
  • n_1 é o índice de refração no meio incidente,
  • n_2 é o índice de refração no segundo meio,
  • i_1 é o ângulo de incidência medido em relação à normal,
  • r_1 é o ângulo de refração medido em relação à normal.
  • Observação didática: \sin é a função seno; se n_2 é maior, para o mesmo i_1 o \sin(r_1) tem que ser menor, logo r_1 é menor — isto é, o raio “vira” mais em direção à normal quando entra num meio com maior índice.

Passo 3

Como a refração acontece num prisma (geometria da trajetória e definição do desvio).
  • Um prisma triangular com ângulo de vértice A faz o raio refratar ao entrar e ao sair. Denotando por i_1 o ângulo de incidência na face de entrada, por r_1 o ângulo refratado dentro do prisma na primeira face, por r_2 o ângulo interno na segunda face e por i_2 o ângulo de saída no ar, o desvio total \delta do raio é
\delta = (i_1 - r_1) + (i_2 - r_2).
  • Para o caso de desvio mínimo (condição frequentemente usada para análise de prismas), o percurso é simétrico: r_1=r_2 e i_1=i_2. Nessa situação vale a relação geométrica
r_1+r_2=A \quad\Rightarrow\quad 2r_1=A \quad\Rightarrow\quad r_1=\frac{A}{2}.

Passo 4

Expressão do desvio mínimo em função do índice n e do ângulo A.
  • Aplicando Snell na primeira face (ar com n_{\text{ar}}\approx1 para simplificar) na condição simétrica:
\sin(i)=n\sin\!\bigg(\frac{A}{2}\bigg),
onde escrevi i no lugar de i_1 (por simetria i_1=i_2=i) e n é o índice do material do prisma para a dada cor.
  • O desvio mínimo \delta_{\min} é
\delta_{\min}=2i-A.
Como i=\arcsin\!\big(n\sin\!\frac{A}{2}\big), obtemos a fórmula útil
\delta_{\min}=2\arcsin\!\bigg(n\sin\!\frac{A}{2}\bigg)-A.
  • Explicando as peças: \arcsin é a função inversa do seno; o argumento n\sin(A/2) aumenta quando n aumenta (para A fixo), então i aumenta; como \delta_{\min}=2i-A, o desvio aumenta quando i aumenta.

Passo 5

Mostrar que maior índice produz maior desvio (matematicamente e em palavras).
  • Derivando \delta_{\min} em relação a n (mostrando monotonicidade):
\frac{d\delta_{\min}}{dn} =2\cdot\frac{d}{dn}\arcsin\!\big(n\sin\!\tfrac{A}{2}\big) =2\cdot\frac{\sin\!\tfrac{A}{2}}{\sqrt{1-\big(n\sin\!\tfrac{A}{2}\big)^2}}.
  • Observação: para valores físicos de n e A o denominador é positivo, e \sin\!\tfrac{A}{2}>0 se 0<A<\pi. Logo \dfrac{d\delta_{\min}}{dn}>0. Isso significa: quanto maior n, maior \delta_{\min}.
  • Em palavras simples: a luz com maior índice é desviada mais porque, ao entrar no prisma, ela “aproxima-se” mais da normal (refrata mais), e ao sair sofre uma nova refração que resulta em um desvio total maior.

Passo 6

Aplicando ao caso das cores e conclusão física e mnemônica.
  • O enunciado já nos deu que n_{\text{violeta}}>n_{\text{vermelha}}. Pela razão matemática acima ( \delta cresce com n), conclui-se que a luz violeta sofre maior desvio e a luz vermelha sofre menor desvio ao atravessar o prisma.
  • Intuição rápida: cores de menor comprimento de onda (violeta) “veem” índice maior e são dobradas (refratadas) mais; cores de maior comprimento de onda (vermelha) são refratadas menos. Mnemonicamente: “violeta dobra mais, vermelho dobra menos”.
  • Incentivo amigo: essa é a explicação que os exames pedem — liga índice maior a maior refração e daí a maior separação. Tá dominado!

Resposta

Violeta: maior desvio.
Vermelha: menor desvio.

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