1.29
Podemos definir a dispersão em função da diferença entre o desvio máximo e o desvio mínimo sofridos por um conjunto de raios luminosos. O índice de refração para a luz violeta é maior do que o índice de refração para a luz vermelha. Quando as cores da luz branca se separam ao atravessar um prisma, diga quais são as cores que sofrem o maior e o menor desvio.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão:
- Informação: “Podemos definir a dispersão em função da diferença entre o desvio máximo e o desvio mínimo sofridos por um conjunto de raios luminosos.”
- Informação: “O índice de refração para a luz violeta é maior do que o índice de refração para a luz vermelha.” Ou seja,
. - Situação: Um feixe de luz branca atravessa um prisma e as cores se separam (dispersão).
- Pergunta: Quais cores sofrem o maior desvio e o menor desvio ao passar pelo prisma?
Passo 2
Conceito básico de refração (fórmula e significado das variáveis).
- Quando um raio passa de um meio para outro, vale a Lei de Snell:
onde:
-
é o índice de refração no meio incidente, -
é o índice de refração no segundo meio, -
é o ângulo de incidência medido em relação à normal, -
é o ângulo de refração medido em relação à normal. - Observação didática:
é a função seno; se é maior, para o mesmo o tem que ser menor, logo é menor — isto é, o raio “vira” mais em direção à normal quando entra num meio com maior índice.
Passo 3
Como a refração acontece num prisma (geometria da trajetória e definição do desvio).
- Um prisma triangular com ângulo de vértice
faz o raio refratar ao entrar e ao sair. Denotando por o ângulo de incidência na face de entrada, por o ângulo refratado dentro do prisma na primeira face, por o ângulo interno na segunda face e por o ângulo de saída no ar, o desvio total do raio é
- Para o caso de desvio mínimo (condição frequentemente usada para análise de prismas), o percurso é simétrico:
e . Nessa situação vale a relação geométrica
Passo 4
Expressão do desvio mínimo em função do índice
e do ângulo
.
- Aplicando Snell na primeira face (ar com
para simplificar) na condição simétrica:
onde escrevi
no lugar de
(por simetria
) e
é o índice do material do prisma para a dada cor.
- O desvio mínimo
é
Como
, obtemos a fórmula útil
- Explicando as peças:
é a função inversa do seno; o argumento aumenta quando aumenta (para fixo), então aumenta; como , o desvio aumenta quando aumenta.
Passo 5
Mostrar que maior índice produz maior desvio (matematicamente e em palavras).
- Derivando
em relação a (mostrando monotonicidade):
- Observação: para valores físicos de
e o denominador é positivo, e se . Logo . Isso significa: quanto maior , maior . - Em palavras simples: a luz com maior índice é desviada mais porque, ao entrar no prisma, ela “aproxima-se” mais da normal (refrata mais), e ao sair sofre uma nova refração que resulta em um desvio total maior.
Passo 6
Aplicando ao caso das cores e conclusão física e mnemônica.
- O enunciado já nos deu que
. Pela razão matemática acima ( cresce com ), conclui-se que a luz violeta sofre maior desvio e a luz vermelha sofre menor desvio ao atravessar o prisma. - Intuição rápida: cores de menor comprimento de onda (violeta) “veem” índice maior e são dobradas (refratadas) mais; cores de maior comprimento de onda (vermelha) são refratadas menos. Mnemonicamente: “violeta dobra mais, vermelho dobra menos”.
- Incentivo amigo: essa é a explicação que os exames pedem — liga índice maior a maior refração e daí a maior separação. Tá dominado!
Resposta
Violeta: maior desvio.
Vermelha: menor desvio.
Vermelha: menor desvio.