1.33

Uma pessoa possui uma altura h. (a) Determine o valor aproximado da altura mínima de um espelho para que uma pessoa veja sua imagem completa no espelho. (b) A que altura do solo o espelho deve ser colocado?
Sugestão: O olho está situado a apenas alguns centímetros do topo da cabeça; então, um raio luminoso saindo do pé atinge a borda inferior do espelho e é refletido para o olho; portanto, é fácil concluir que a borda inferior do espelho deve estar a uma altura h / 2 do solo; obtenha a outra resposta com esta linha de raciocínio.

Passo 1

O enunciado dá uma pessoa de altura h e pede duas coisas:
  • (a) determinar, aproximadamente, a altura mínima do espelho para que a pessoa veja a imagem inteira;
  • (b) a que altura do solo o espelho deve ser colocado.
Informações relevantes fornecidas:
  • a altura total da pessoa é \,h;
  • os olhos estão situados a apenas alguns centímetros do topo da cabeça (logo, podemos aproximar a altura dos olhos por h para uma estimativa rápida, ou introduzir uma altura exata dos olhos y_e se quisermos precisão).

Passo 2

Vamos colocar um sistema de referência simples para raciocinar com clareza:
  • o solo corresponde a y=0;
  • os pés da pessoa estão em y=0;
  • o topo da cabeça está em y=h;
  • a altura dos olhos chamaremos de y_e (onde, para a estimativa pedida, y_e\approx h ).
    Colocamos o espelho em um plano vertical paralelo à pessoa; não precisamos do valor da distância horizontal entre pessoa e espelho (chamemos de D): o resultado final será independente de D. Vamos analisar o plano vertical que contém os olhos, os pés e o espelho (seção transversal).

Passo 3

Conceito físico-matemático que vamos usar (explicado de forma simples):
  • Para um espelho plano, a imagem de um ponto está localizada simetricamente em relação ao plano do espelho: se o objeto está a uma distância D do espelho, sua imagem virtual está à mesma distância D do outro lado do espelho, com a mesma coordenada vertical.
  • Assim, para um ponto do corpo com altura y_o (por exemplo, pés y_o=0 ou topo y_o=h), a imagem desse ponto fica na mesma altura y_o mas do outro lado do espelho.
  • O raio de luz que sai do ponto do corpo, reflete no espelho e entra no olho é equivalente, geometricamente, ao segmento de reta que liga o olho à imagem virtual do ponto: a interseção dessa reta com o plano do espelho é o local do espelho responsável pela reflexão desse ponto.

Passo 4

Calcular onde, verticalmente, a reta entre o olho e a imagem virtual intersecta o espelho:
  • Coordenadas: olho em (x=-D,\;y=y_e), imagem de um ponto em (x=+D,\;y=y_o).
  • A reta que liga esses dois pontos tem parâmetro t tal que em t=0 está no olho e em t=1 está na imagem; suas coordenadas são
x(t)=-D+t(2D),\qquad y(t)=y_e+t(y_o-y_e).
  • A interseção com o plano do espelho ocorre em x=0. Assim, resolvendo x(t)=0 obtemos t=\tfrac{1}{2}.
  • Substituindo em y(t) obtemos o ponto do espelho que reflete o ponto do corpo:
y_m=y\!\left(t=\tfrac{1}{2}\right)=y_e+\tfrac{1}{2}(y_o-y_e)=\tfrac{y_e+y_o}{2}.
Interpretação simples: o ponto do espelho que precisa existir para que o olho veja um ponto do corpo está na média aritmética das alturas do olho e do ponto do corpo.

Passo 5

Aplicar isso aos dois pontos extremos que precisam ser vistos:
  • Para ver os pés ( y_o=0), o ponto do espelho que deve existir tem altura
y_{\text{inferior}}=\tfrac{y_e+0}{2}=\tfrac{y_e}{2}.
  • Para ver o topo da cabeça ( y_o=h), o ponto do espelho que deve existir tem altura
y_{\text{superior}}=\tfrac{y_e+h}{2}.
  • Portanto o segmento do espelho que precisa existir vai de y_{\text{inferior}} até y_{\text{superior}} e sua altura mínima L é
L=y_{\text{superior}}-y_{\text{inferior}}=\tfrac{y_e+h}{2}-\tfrac{y_e}{2}=\tfrac{h}{2}.
Observação importante e intuitiva: a altura mínima do espelho não depende da distância D da pessoa ao espelho nem da posição exata dos olhos y_e; depende apenas de h. Isso é uma conclusão muito prática — por isso, numa prova, vale a pena lembrar: espelho plano mínimo para ver o corpo inteiro = metade da altura do corpo.

Passo 6

Usar a aproximação sugerida no enunciado ( y_e está a poucos centímetros do topo, logo y_e\approx h) para obter a posição prática do espelho:
  • Com y_e\approx h temos
y_{\text{inferior}}=\tfrac{y_e}{2}\approx\tfrac{h}{2}, \qquad y_{\text{superior}}=\tfrac{y_e+h}{2}\approx\tfrac{h+h}{2}=h.
  • Assim, aproximadamente, o espelho deve começar (borda inferior) a uma altura h/2 do solo e estender-se até aproximadamente o topo da cabeça; o comprimento do espelho será aproximadamente h/2.
Para maior precisão (se quiser levar em conta que os olhos ficam alguns centímetros abaixo do topo), use as fórmulas gerais
\text{altura mínima do espelho }L=\tfrac{h}{2}, \qquad \text{borda inferior}= \tfrac{y_e}{2}, \qquad \text{borda superior}= \tfrac{y_e+h}{2},í
onde y_e é a altura real dos olhos acima do solo.

Passo 7

Resumo prático e dica para a prova: demonstre que o ponto de reflexão é a média entre a altura do olho e a altura do ponto do corpo (isso resolve o problema elegantemente). Mostre os dois extremos (pés e cabeça) e subtraia para obter L=\tfrac{h}{2}. Essa demonstração é curta, independente da distância à parede e fácil de lembrar sob pressão.

Resposta

(a) \tfrac{h}{2}
(b) A borda inferior deve estar aproximadamente a \tfrac{h}{2} do solo.

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