1.33
Uma pessoa possui uma altura
. (a) Determine o valor aproximado da altura mínima de um espelho para que uma pessoa veja sua imagem completa no espelho. (b) A que altura do solo o espelho deve ser colocado?
Sugestão: O olho está situado a apenas alguns centímetros do topo da cabeça; então, um raio luminoso saindo do pé atinge a borda inferior do espelho e é refletido para o olho; portanto, é fácil concluir que a borda inferior do espelho deve estar a uma altura
do solo; obtenha a outra resposta com esta linha de raciocínio.
Passo 1
O enunciado dá uma pessoa de altura
e pede duas coisas:
- (a) determinar, aproximadamente, a altura mínima do espelho para que a pessoa veja a imagem inteira;
- (b) a que altura do solo o espelho deve ser colocado.
Informações relevantes fornecidas:
- a altura total da pessoa é
; - os olhos estão situados a apenas alguns centímetros do topo da cabeça (logo, podemos aproximar a altura dos olhos por
para uma estimativa rápida, ou introduzir uma altura exata dos olhos se quisermos precisão).
Passo 2
Vamos colocar um sistema de referência simples para raciocinar com clareza:
- o solo corresponde a
; - os pés da pessoa estão em
; - o topo da cabeça está em
; - a altura dos olhos chamaremos de
(onde, para a estimativa pedida, ).
Colocamos o espelho em um plano vertical paralelo à pessoa; não precisamos do valor da distância horizontal entre pessoa e espelho (chamemos de): o resultado final será independente de . Vamos analisar o plano vertical que contém os olhos, os pés e o espelho (seção transversal).
Passo 3
Conceito físico-matemático que vamos usar (explicado de forma simples):
- Para um espelho plano, a imagem de um ponto está localizada simetricamente em relação ao plano do espelho: se o objeto está a uma distância
do espelho, sua imagem virtual está à mesma distância do outro lado do espelho, com a mesma coordenada vertical. - Assim, para um ponto do corpo com altura
(por exemplo, pés ou topo ), a imagem desse ponto fica na mesma altura mas do outro lado do espelho. - O raio de luz que sai do ponto do corpo, reflete no espelho e entra no olho é equivalente, geometricamente, ao segmento de reta que liga o olho à imagem virtual do ponto: a interseção dessa reta com o plano do espelho é o local do espelho responsável pela reflexão desse ponto.
Passo 4
Calcular onde, verticalmente, a reta entre o olho e a imagem virtual intersecta o espelho:
- Coordenadas: olho em
, imagem de um ponto em . - A reta que liga esses dois pontos tem parâmetro
tal que em está no olho e em está na imagem; suas coordenadas são
- A interseção com o plano do espelho ocorre em
. Assim, resolvendo obtemos . - Substituindo em
obtemos o ponto do espelho que reflete o ponto do corpo:
Interpretação simples: o ponto do espelho que precisa existir para que o olho veja um ponto do corpo está na média aritmética das alturas do olho e do ponto do corpo.
Passo 5
Aplicar isso aos dois pontos extremos que precisam ser vistos:
- Para ver os pés (
), o ponto do espelho que deve existir tem altura
- Para ver o topo da cabeça (
), o ponto do espelho que deve existir tem altura
- Portanto o segmento do espelho que precisa existir vai de
até e sua altura mínima é
Observação importante e intuitiva: a altura mínima do espelho não depende da distância
da pessoa ao espelho nem da posição exata dos olhos
; depende apenas de
. Isso é uma conclusão muito prática — por isso, numa prova, vale a pena lembrar: espelho plano mínimo para ver o corpo inteiro = metade da altura do corpo.
Passo 6
Usar a aproximação sugerida no enunciado (
está a poucos centímetros do topo, logo
) para obter a posição prática do espelho:
- Com
temos
- Assim, aproximadamente, o espelho deve começar (borda inferior) a uma altura
do solo e estender-se até aproximadamente o topo da cabeça; o comprimento do espelho será aproximadamente .
Para maior precisão (se quiser levar em conta que os olhos ficam alguns centímetros abaixo do topo), use as fórmulas gerais
onde
é a altura real dos olhos acima do solo.
Passo 7
Resumo prático e dica para a prova: demonstre que o ponto de reflexão é a média entre a altura do olho e a altura do ponto do corpo (isso resolve o problema elegantemente). Mostre os dois extremos (pés e cabeça) e subtraia para obter
. Essa demonstração é curta, independente da distância à parede e fácil de lembrar sob pressão.
Resposta
(a)
(b) A borda inferior deve estar aproximadamente a do solo.
(b) A borda inferior deve estar aproximadamente a