2.29 A seguir, temos respostas ao impulso de sistemas LIT de tempo contínuo. Determine se cada um dos sistemas é causal e/ou estável. Justifique suas respostas.
h(t)=e^{2 l} u(-1-t)

Passo 1

O enunciado dá a resposta ao impulso
h(t)=e^{2t}\,u(-1-t).
(Interpretando que o caractere l do enunciado é, na verdade, a variável t.)
As perguntas são: o sistema é causal? o sistema é estável (BIBO)? Vou listar as informações relevantes fornecidas:
  • h(t) é a resposta ao impulso do sistema LIT tempo-contínuo.
  • u(\cdot) é a função degrau unitário, de forma que u(-1-t)=1 quando -1-t\ge 0, isto é, quando t\le -1, e u(-1-t)=0 quando t>-1.
    A partir daqui vamos avaliar, passo a passo, causalidade e estabilidade.

Passo 2

Definição e teste de causalidade (aula rapidinha e concreta).
  • Regra prática: um sistema LIT é causal se, e somente se, sua resposta ao impulso satisfaz
h(t)=0\quad\text{para todo}\quad t<0.
  • Por que isso? Porque a saída no instante t é dada pela convolução
y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\,x(t-\tau)\,d\tau.
Se existir \tau<0 com h(\tau)\neq 0, então no integrando aparece x(t-\tau) com t-\tau>t, ou seja, valores futuros da entrada influenciam a saída em t → sistema não é causal.
  • Agora observe o suporte (onde é não nulo) de h(t): como u(-1-t)=1 para t\le -1, concluímos que
h(t)\neq 0\quad\text{para alguns }t\le -1.
Em particular existem valores negativos de t (por exemplo t=-1) em que h(t)\neq 0. Portanto h(t) não é nulo para todos t<0 → o sistema é não causal.

Passo 3

Explicando estabilidade BIBO e a condição para LIT.
  • Definição prática: um sistema LIT é BIBO estável se todo sinal de entrada limitado (ou seja, |x(t)|\le M<\infty para todo t) produz uma saída limitada.
  • Teorema útil (e muito usado em provas): para sistemas LIT tempo-contínuo, estabilidade BIBO é equivalente à integral absoluta finita da resposta ao impulso:
\text{o sistema é BIBO estável} \iff \int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|\,dt < \infty.éá
  • Assim, para testar estabilidade, basta calcular \int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|\,dt.

Passo 4

Cálculo da norma L^1 de h(t).
  • Primeiro simplificamos usando o suporte: u(-1-t)=1 para t\le -1 e 0 para t>-1. Logo
\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|\,dt = \int_{-\infty}^{-1} |e^{2t}|\,dt.
  • Como e^{2t}>0 para todo t, temos |e^{2t}|=e^{2t}. Calcule a integral:
\int_{-\infty}^{-1} e^{2t}\,dt.
A primitiva de e^{2t} é \dfrac{1}{2}e^{2t}. Portanto
\int_{-\infty}^{-1} e^{2t}\,dt = \left[\dfrac{1}{2}e^{2t}\right]_{t\to -\infty}^{t=-1} = \dfrac{1}{2}e^{-2} - \underbrace{\lim_{t\to -\infty}\dfrac{1}{2}e^{2t}}_{0} = \dfrac{1}{2}e^{-2}.
  • O resultado é finito ( \dfrac{1}{2}e^{-2}<\infty), logo a condição de BIBO estabilidade é satisfeita.

Passo 5

Conclusões finais e comentário amigo.
  • Recapitulando: h(t) é não nulo para tempos negativos (tem suporte em t\le -1), então o sistema é não causal.
  • Por outro lado, a integral absoluta de h(t) é finita ( \dfrac{1}{2}e^{-2}), então o sistema é BIBO estável.
    Força aí — é chato ver funções que “olham para o passado” (não causalidade), mas pelo menos esse sistema não explode (estável)!

Resposta

Não causal.
Estável (BIBO estável).

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