2.29 A seguir, temos respostas ao impulso de sistemas LIT de tempo contínuo. Determine se cada um dos sistemas é causal e/ou estável. Justifique suas respostas.
Passo 1
O enunciado dá a resposta ao impulso
(Interpretando que o caractere
do enunciado é, na verdade, a variável
.)
As perguntas são: o sistema é causal? o sistema é estável (BIBO)? Vou listar as informações relevantes fornecidas:
As perguntas são: o sistema é causal? o sistema é estável (BIBO)? Vou listar as informações relevantes fornecidas:
-
é a resposta ao impulso do sistema LIT tempo-contínuo. -
é a função degrau unitário, de forma que quando , isto é, quando , e quando .
A partir daqui vamos avaliar, passo a passo, causalidade e estabilidade.
Passo 2
Definição e teste de causalidade (aula rapidinha e concreta).
- Regra prática: um sistema LIT é causal se, e somente se, sua resposta ao impulso satisfaz
- Por que isso? Porque a saída no instante
é dada pela convolução
Se existir
com
, então no integrando aparece
com
, ou seja, valores futuros da entrada influenciam a saída em
→ sistema não é causal.
- Agora observe o suporte (onde é não nulo) de
: como para , concluímos que
Em particular existem valores negativos de
(por exemplo
) em que
. Portanto
não é nulo para todos
→ o sistema é não causal.
Passo 3
Explicando estabilidade BIBO e a condição para LIT.
- Definição prática: um sistema LIT é BIBO estável se todo sinal de entrada limitado (ou seja,
para todo ) produz uma saída limitada. - Teorema útil (e muito usado em provas): para sistemas LIT tempo-contínuo, estabilidade BIBO é equivalente à integral absoluta finita da resposta ao impulso:
- Assim, para testar estabilidade, basta calcular
.
Passo 4
Cálculo da norma
de
.
- Primeiro simplificamos usando o suporte:
para e para . Logo
- Como
para todo , temos . Calcule a integral:
A primitiva de
é
. Portanto
- O resultado é finito (
), logo a condição de BIBO estabilidade é satisfeita.
Passo 5
Conclusões finais e comentário amigo.
- Recapitulando:
é não nulo para tempos negativos (tem suporte em ), então o sistema é não causal. - Por outro lado, a integral absoluta de
é finita ( ), então o sistema é BIBO estável.
Força aí — é chato ver funções que “olham para o passado” (não causalidade), mas pelo menos esse sistema não explode (estável)!
Resposta
Não causal.
Estável (BIBO estável).
Estável (BIBO estável).