A seguir, temos respostas ao impulso de sistemas LIT de tempo discreto. Determine se cada um dos sistemas é causal e/ou estável. Justifique suas respostas.
h[n]=n\left(\frac{1}{3}\right)^{n} u[n-1]

Passo 1

Enunciado: o sistema LIT de tempo discreto tem resposta ao impulso
h[n]=n\left(\frac{1}{3}\right)^{n} u[n-1].
Perguntas que o enunciado faz:
  1. O sistema é causal?
  2. O sistema é estável (BIBO)?
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão explícita de h[n].
  • A presença do termo de degrau deslocado u[n-1], que limita o suporte temporal de h[n].

Passo 2

Interpretação do termo [u[n-1]) e do suporte de h[n].
O degrau deslocado u[n-1] é definido por
u[n-1]=\begin{cases} 1, & n\ge 1,\\[4pt] 0, & n\le 0. \end{cases}
Portanto, para n\le 0\] temos \(u[n-1]=0 e então
h[n]=0\quad\text{para }n\le 0.
Em particular h[0]=0. Para n\ge 1 o impulso vale
h[n]=n\left(\frac{1}{3}\right)^{n}>0.]

Passo 3

Definição e verificação de causalidade (aula rápida e aplicação).
Definição prática: um sistema LTI discreto é causal se e somente se sua resposta ao impulso satisfaz
h[n]=0\quad\text{para todo }n<0.
Intuição: não pode haver efeito antes da causa — a saída no instante atual não depende de entradas futuras.
Aplicando ao nosso caso: já vimos que h[n]=0 para todo n\le 0, em particular para todo n<0. Logo a condição é satisfeita e o sistema é causal.

Passo 4

Definição e critério de estabilidade BIBO (aula rápida).
Para um sistema LTI discreto, a condição necessária e suficiente para estabilidade BIBO é que a resposta ao impulso seja absolutamente somável:
\sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]| < \infty.
Intuição: se a soma das magnitudes dos coeficientes do impulso é finita, então a saída será limitada sempre que a entrada for limitada (produto-convolução fica limitado).

Passo 5

Aplicação do critério de estabilidade ao h[n] dado.
Como h[n]=0 para n\le 0, a soma absoluta reduz-se a
\sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]|=\sum_{n=1}^{\infty} n\left(\frac{1}{3}\right)^{n}.
Note que para n\ge 1 os termos são positivos, então o valor absoluto não altera nada.
Precisamos avaliar a série
S=\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n}
com r=\tfrac{1}{3} e |r|<1. Vamos obter uma fórmula fechada para S.

Passo 6

Cálculo da soma \sum_{n=1}^{\infty} n r^{n} por derivação da série geométrica.
Começamos pela série geométrica conhecida (válida para |r|<1):
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=\frac{1}{1-r}.
Subtraindo o termo n=0 obtemos
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\frac{r}{1-r}.
Agora diferenciamos ambos os lados em relação a r. A diferenciação termo a termo é permitida porque a série converge uniformemente em qualquer intervalo fechado dentro de |r|<1. Diferenciando,
\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n-1}=\frac{1}{(1-r)^{2}}.
Multiplicando os dois lados por r obtemos a série desejada:
\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n}=\frac{r}{(1-r)^{2}}.

Passo 7

Avaliação numérica para r=\tfrac{1}{3} e conclusão sobre a estabilidade.
Substituindo r=\tfrac{1}{3} na fórmula,
\sum_{n=1}^{\infty} n\left(\frac{1}{3}\right)^{n}=\frac{\tfrac{1}{3}}{\left(1-\tfrac{1}{3}\right)^{2}}.
Calculemos passo a passo:
1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3},
\left(\tfrac{2}{3}\right)^{2}=\tfrac{4}{9},
\frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{4}{9}}=\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{9}{4}=\tfrac{9}{12}=\tfrac{3}{4}.
Portanto a soma é finita:
\sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]|=\tfrac{3}{4}<\infty.
Pelo critério de estabilidade, o sistema é BIBO estável.

Passo 8

Conclusões finais e incentivo.
Recapitulando: mostramos que h[n]=0 para n<0, então o sistema é causal; e mostramos que a soma absoluta de h[n] converge para \tfrac{3}{4}, logo o sistema é estável. Boa! Você conseguiu seguir os passos importantes: interpretar o suporte pelo degrau deslocado, aplicar a definição de causalidade e usar a técnica padrão (derivação da série geométrica) para somar séries do tipo \sum n r^{n}. Confia que na prova essa é a abordagem padrão — memorizando a fórmula \sum_{n=1}^\infty n r^n=\dfrac{r}{(1-r)^2} para |r|<1 já ganha muito tempo.

Resposta

Causal: sim.
Estável (BIBO): sim.

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