A seguir, temos respostas ao impulso de sistemas LIT de tempo discreto. Determine se cada um dos sistemas é causal e/ou estável. Justifique suas respostas.
Passo 1
Enunciado: o sistema LIT de tempo discreto tem resposta ao impulso
Perguntas que o enunciado faz:
- O sistema é causal?
- O sistema é estável (BIBO)?
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão explícita de
. - A presença do termo de degrau deslocado
, que limita o suporte temporal de .
Passo 2
Interpretação do termo [u[n-1]) e do suporte de
.
O degrau deslocado
é definido por
Portanto, para
e então
Em particular
. Para
o impulso vale
Passo 3
Definição e verificação de causalidade (aula rápida e aplicação).
Definição prática: um sistema LTI discreto é causal se e somente se sua resposta ao impulso satisfaz
Intuição: não pode haver efeito antes da causa — a saída no instante atual não depende de entradas futuras.
Aplicando ao nosso caso: já vimos que
para todo
, em particular para todo
. Logo a condição é satisfeita e o sistema é causal.
Passo 4
Definição e critério de estabilidade BIBO (aula rápida).
Para um sistema LTI discreto, a condição necessária e suficiente para estabilidade BIBO é que a resposta ao impulso seja absolutamente somável:
Intuição: se a soma das magnitudes dos coeficientes do impulso é finita, então a saída será limitada sempre que a entrada for limitada (produto-convolução fica limitado).
Passo 5
Aplicação do critério de estabilidade ao
dado.
Como
para
, a soma absoluta reduz-se a
Note que para
os termos são positivos, então o valor absoluto não altera nada.
Precisamos avaliar a série
com
e
. Vamos obter uma fórmula fechada para
.
Passo 6
Cálculo da soma
por derivação da série geométrica.
Começamos pela série geométrica conhecida (válida para
):
Subtraindo o termo
obtemos
Agora diferenciamos ambos os lados em relação a
. A diferenciação termo a termo é permitida porque a série converge uniformemente em qualquer intervalo fechado dentro de
. Diferenciando,
Multiplicando os dois lados por
obtemos a série desejada:
Passo 7
Avaliação numérica para
e conclusão sobre a estabilidade.
Substituindo
na fórmula,
Calculemos passo a passo:
Portanto a soma é finita:
Pelo critério de estabilidade, o sistema é BIBO estável.
Passo 8
Conclusões finais e incentivo.
Recapitulando: mostramos que
para
, então o sistema é causal; e mostramos que a soma absoluta de
converge para
, logo o sistema é estável. Boa! Você conseguiu seguir os passos importantes: interpretar o suporte pelo degrau deslocado, aplicar a definição de causalidade e usar a técnica padrão (derivação da série geométrica) para somar séries do tipo
. Confia que na prova essa é a abordagem padrão — memorizando a fórmula
para
já ganha muito tempo.
Resposta
Causal: sim.
Estável (BIBO): sim.
Estável (BIBO): sim.