A seguir, temos respostas ao impulso de sistemas LIT de tempo discreto. Determine se cada um dos sistemas é causal e/ou estável. Justifique suas respostas. h[n]=\left(-\frac{1}{2}\right)^{n} u[n]+(1,01)^{n} u[1-n]
Passo 1
O enunciado pede: determinar se o sistema LIT com resposta ao impulso
é causal e se é (BIBO) estável. Dados relevantes que o enunciado fornece:
A primeira parcela é \left(-\tfrac{1}{2}\right)^{n} u[n].
A segunda parcela é (1,01)^{n} u[1-n].
u[n] é o degrau unitário padrão (vale 1 para n\ge 0 e 0 para n<0).
u[1-n] vale 1 quando 1-n\ge 0, ou seja para n\le 1, e vale 0 para n>1.
A partir disso vamos checar causalidade (condição sobre h[n] para n<0) e estabilidade (soma absoluta de |h[n]|).
Passo 2
Definição e interpretação dos termos de h[n]:
u[n] implica que \left(-\tfrac{1}{2}\right)^{n} u[n] está ativo somente para n\ge 0 (para n<0 essa parcela é zero).
u[1-n] implica que (1,01)^{n} u[1-n] está ativo somente para n\le 1 (para n>1 essa parcela é zero).
Logo o suporte (onde h[n] pode ser diferente de zero) é a união \{n\ge 0\}\cup\{n\le 1\}, isto é, potencialmente todos os n (há contribuição para n<0 dada pela segunda parcela).
Passo 3
Teste de causalidade (explicação do conceito):
Um sistema LIT é causal se e somente se h[n]=0 para todo n<0. Isso significa que a saída no tempo n_0 não pode depender de entradas em instantes futuros (no tempo discreto isto se traduz nessa condição sobre h[n]).
Aplicando ao nosso h[n]:
Para n<0 temos u[n]=0, então a primeira parcela é 0.
Para n<0 também temos n\le 1, portanto u[1-n]=1 e a segunda parcela vale (1,01)^{n}, que é diferente de zero (por exemplo, para n=-1 vale (1,01)^{-1}\neq 0).
Conclusão: existe n<0 tais que h[n]\neq 0, portanto o sistema NÃO é causal.
Passo 4
Teste de estabilidade BIBO (explicação do conceito):
Para um sistema LIT discreto, a condição necessária e suficiente para ser BIBO estável é
\sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]| < \infty.
Iremos estimar essa soma. Usei aqui a desigualdade triangular para separar as parcelas:
ou seja, a soma absoluta de h[n] é finita. (Mais forte: pode-se verificar que a soma absoluta é, de fato, finita — o cálculo acima mostra um limite finito — portanto o sistema é BIBO estável.)
Intuição: a primeira parcela é um exponencial decrescente à direita (|\tfrac{1}{2}|<1) e a segunda é um exponencial decrescente à esquerda (porque para n\to -\infty a potência (1,01)^{n}\to 0), portanto as duas juntas têm soma absoluta convergente.