A seguir, temos respostas ao impulso de sistemas LIT de tempo discreto. Determine se cada um dos sistemas é causal e/ou estável. Justifique suas respostas.
h[n]=\left(-\frac{1}{2}\right)^{n} u[n]+(1,01)^{n} u[1-n]

Passo 1

O enunciado pede: determinar se o sistema LIT com resposta ao impulso
h[n]=\left(-\frac{1}{2}\right)^{n} u[n]+(1,01)^{n} u[1-n]
é causal e se é (BIBO) estável. Dados relevantes que o enunciado fornece:
  • A primeira parcela é \left(-\tfrac{1}{2}\right)^{n} u[n].
  • A segunda parcela é (1,01)^{n} u[1-n].
  • u[n] é o degrau unitário padrão (vale 1 para n\ge 0 e 0 para n<0).
  • u[1-n] vale 1 quando 1-n\ge 0, ou seja para n\le 1, e vale 0 para n>1.
    A partir disso vamos checar causalidade (condição sobre h[n] para n<0) e estabilidade (soma absoluta de |h[n]|).

Passo 2

Definição e interpretação dos termos de h[n]:
  • u[n] implica que \left(-\tfrac{1}{2}\right)^{n} u[n] está ativo somente para n\ge 0 (para n<0 essa parcela é zero).
  • u[1-n] implica que (1,01)^{n} u[1-n] está ativo somente para n\le 1 (para n>1 essa parcela é zero).
    Logo o suporte (onde h[n] pode ser diferente de zero) é a união \{n\ge 0\}\cup\{n\le 1\}, isto é, potencialmente todos os n (há contribuição para n<0 dada pela segunda parcela).

Passo 3

Teste de causalidade (explicação do conceito):
  • Um sistema LIT é causal se e somente se h[n]=0 para todo n<0. Isso significa que a saída no tempo n_0 não pode depender de entradas em instantes futuros (no tempo discreto isto se traduz nessa condição sobre h[n]).
    Aplicando ao nosso h[n]:
  • Para n<0 temos u[n]=0, então a primeira parcela é 0.
  • Para n<0 também temos n\le 1, portanto u[1-n]=1 e a segunda parcela vale (1,01)^{n}, que é diferente de zero (por exemplo, para n=-1 vale (1,01)^{-1}\neq 0).
    Conclusão: existe n<0 tais que h[n]\neq 0, portanto o sistema NÃO é causal.

Passo 4

Teste de estabilidade BIBO (explicação do conceito):
  • Para um sistema LIT discreto, a condição necessária e suficiente para ser BIBO estável é
\sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]| < \infty.
Iremos estimar essa soma. Usei aqui a desigualdade triangular para separar as parcelas:
\sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]| \le \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left|\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{n} u[n]\right| + \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left|(1,01)^{n} u[1-n]\right|.
Agora calculamos cada soma (observe que cada parcela tem suporte reduzido).

Passo 5

Soma da primeira parcela:
  • \left(-\tfrac{1}{2}\right)^{n} u[n] contribui apenas para n\ge 0. Assim
\sum_{n=-\infty}^{\infty} \left|\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{n} u[n]\right| = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}.
  • Essa é uma série geométrica de razão \tfrac{1}{2} (menor que 1), cuja soma é
\sum_{n=0}^{\infty} \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}=\frac{1}{1-\tfrac{1}{2}}=2.

Passo 6

Soma da segunda parcela:
  • (1,01)^{n} u[1-n] contribui apenas para n\le 1. Escrevemos a soma como
\sum_{n=-\infty}^{\infty} \left|(1,01)^{n} u[1-n]\right| = \sum_{n=-\infty}^{1} (1,01)^{n}.
  • Para somar, faça a mudança de índice k=1-n. Quando n vai de -\infty até 1, k vai de 0 até \infty. Assim
\sum_{n=-\infty}^{1} (1,01)^{n} = \sum_{k=0}^{\infty} (1,01)^{\,1-k} = (1,01)\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{1,01}\right)^{k}.
  • Agora \frac{1}{1,01}<1, então é outra série geométrica com razão \frac{1}{1,01}. A soma é
(1,01)\cdot\frac{1}{1-\tfrac{1}{1,01}}.
  • Para simplificar numericamente, note que 1,01=\tfrac{101}{100} e \tfrac{1}{1,01}=\tfrac{100}{101}. Então
1-\tfrac{1}{1,01}=1-\tfrac{100}{101}=\tfrac{1}{101},
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(1,01)\cdot\frac{1}{1-\tfrac{1}{1,01}}=(1,01)\cdot 101=102,01.

Passo 7

Conclusão sobre estabilidade:
  • Pelo Passo 5 e Passo 6 temos a estimativa
\sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]|\le 2 + 102,01 = 104,01,
ou seja, a soma absoluta de h[n] é finita. (Mais forte: pode-se verificar que a soma absoluta é, de fato, finita — o cálculo acima mostra um limite finito — portanto o sistema é BIBO estável.)
  • Intuição: a primeira parcela é um exponencial decrescente à direita ( |\tfrac{1}{2}|<1) e a segunda é um exponencial decrescente à esquerda (porque para n\to -\infty a potência (1,01)^{n}\to 0), portanto as duas juntas têm soma absoluta convergente.

Resposta

Causal: não\nEstável: sim

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