2.45 (a) Mostre que se a resposta de um sistema LIT a x(t) é a saída y( ), então a resposta do sistema a
x^{\prime}(t)=\frac{d x(t)}{d t}
é y^{\prime}(t). Resolva esse problema de três formas diferentes:
Passo 1
O enunciado pede que eu mostre que, para um sistema LIT (linear e invariante no tempo), se a resposta do sistema ao sinal de entrada x(t) é a saída y(t), então a resposta do sistema à derivada do sinal de entrada
x'(t)=\frac{d}{dt}x(t)
é a derivada da saída original, isto é y'(t). O enunciado exige que eu resolva essa propriedade de três formas diferentes. As informações dadas são: o sistema é LIT e sabemos que quando a entrada é x(t) a saída é y(t). Não foram dadas outras restrições explícitas, portanto vou assumir as hipóteses usuais necessárias para operar (sinais suficientemente bem comportados: integráveis/causais ou que tendem a zero no infinito, e sistema inicialmente em repouso quando usar transformadas).
Passo 2
Preparação didática: o que significa ser LIT e por que isso importa. Um sistema LIT é linear (respeita superposição e homogeneidade) e invariante no tempo (se a entrada for deslocada no tempo, a saída é deslocada da mesma forma). Uma consequência fundamental é que a saída y(t) para uma entrada x(t) pode ser escrita como a convolução da entrada com a resposta ao impulso h(t) do sistema:
Aqui h(t) é a resposta do sistema à função impulso \delta(t), a variável \tau é a variável de integração (tempo “passado”) e a operação * denota convolução. Vou usar essa representação nas primeiras duas demonstrações e, na terceira, vou usar transformadas (Laplace ou Fourier).
Passo 3
Método 1 — usar diretamente a definição de convolução e integração por partes (mover a derivada da entrada para a saída).
Começo escrevendo a saída do sistema quando a entrada é x'(t):
Aqui escolho u'(\tau)=x'(\tau) (ou seja u(\tau)=x(\tau)) e v(\tau)=h(t-\tau). Então v'(\tau)=\frac{d}{d\tau}h(t-\tau)=-h'(t-\tau) (atenção ao sinal: derivando em \tau aparece menos). Aplicando:
A suposição padrão para sistemas físicos (ou sinais causais/bem comportados) é que x(\tau)h(t-\tau)\to 0 quando \tau\to\pm\infty, de modo que o termo de fronteira x(\tau)h(t-\tau)\Big|_{-\infty}^{\infty} é zero. Admitindo isso, sobra
Mas essa integral é exatamente a derivada em relação a t da convolução original y(t)=\int x(\tau) h(t-\tau)\,d\tau, porque podemos derivar por baixo do sinal de integral:
Comentário prático: a etapa-chave foi a integração por partes e a suposição de que os termos de fronteira se anulam (sinais que decaem no infinito ou sistema em repouso). Isso é uma hipótese comum em exercícios e provas.
Passo 4
Método 2 — usar a simetria da convolução e diferenciar diretamente sob o sinal de integral (mover a derivada no argumento de x para fora).
A convolução pode ser escrita de maneira equivalente trocando papéis de x e h:
Mas (x' * h)(t) é justamente a saída do sistema quando a entrada é x'(t). Portanto a saída a x'(t) é y'(t). Observação: essa demonstração é particularmente simples e elegante — a ideia é usar a forma x(t-\tau) para que a diferenciação em t caia diretamente sobre x.
Passo 5
Comentário entre os métodos 1 e 2 (didática e recomendações para prova). Os dois primeiros métodos usam a propriedade de convolução do sistema LIT e são os mais diretos em uma prova. O método 1 (integração por partes) é o que você provavelmente verá em exercícios que pedem “mostre usando integração por partes”. O método 2 é mais ágil: escrever a convolução como \int x(t-\tau)h(\tau)\,d\tau e diferenciar. Ambos exigem hipóteses de regularidade (possibilidade de trocar derivada e integral ou cancelamento de termos de fronteira). Em prova, se o enunciado não discute hipóteses, vale mencionar rapidamente “assumindo sinais que se anulem no infinito / sistema em repouso”.
Passo 6
Método 3 — usar transformada (Laplace ou Fourier) e a propriedade que diferenciação no tempo vira multiplicação por s (Laplace) ou por j\omega (Fourier).
Explico a ideia com Laplace, pois é bastante direta para LIT causal e sistemas em repouso. Denotemos por X(s), Y(s) e H(s) as transformadas de Laplace de x(t), y(t) e h(t), respectivamente. Para um sistema LIT,
Y(s) = H(s)\,X(s).
Agora use a propriedade da transformada de Laplace que relaciona derivação no tempo com multiplicação por s: se as condições iniciais são nulas (sistema em repouso, x(t) e y(t) apropriados), então
\mathcal{L}\{x'(t)\} = s\,X(s).
Portanto, a transformada da saída quando a entrada é x'(t) é
Mas s\,Y(s) é exatamente a transformada de Laplace de y'(t) (novamente sob as mesmas hipóteses de condições iniciais nulas):
\mathcal{L}\{y'(t)\} = s\,Y(s).
Logo Y_{x'}(s)=\mathcal{L}\{y'(t)\} e, tomando a transformada inversa, obtemos y_{x'}(t)=y'(t). Comentário: se você preferir Fourier, a propriedade análoga é \mathcal{F}\{x'(t)\}= (j\omega) X(j\omega) e o raciocínio é idêntico usando Y(j\omega)=H(j\omega)X(j\omega).
Passo 7
Exemplos rápidos para fixar (mini-aulas): 1) Exemplo com sinais simples — se x(t)=u(t) (degrau) e h(t)=e^{-t}u(t) (resposta causal simples), então y(t)=x*h e você pode verificar numericamente que a derivada respeita a propriedade. 2) Regra prática: para LIT, derivar a entrada é equivalente a derivar a saída — isso aparece muito em análise de circuitos e controle (derivada no tempo corresponde a ganho em frequência). Essas observações ajudam a identificar quando usar cada método na prova: use transformada se estiver em contexto de transformadas; use convolução direta se o enunciado fala explicitamente em h(t) ou em integrais.
Passo 8
Conclusão e observações finais (para a prova). As três demonstrações acima (integração por partes na forma direta da convolução, diferenciação direta usando a forma x(t-\tau) e uso de transformadas) mostram a mesma propriedade sob hipóteses usuais de regularidade. Na prova, escreva claramente qual hipótese você está assumindo (por exemplo: sinais de energia limitada, sistema em repouso, ou que os termos de fronteira se anulam), escolha um dos métodos (o método 2 costuma ser o mais curto) e mostre os passos com cuidado.
Resposta
\text{A resposta do sistema à entrada }x'(t)\text{ é }y'(t).àé