Questão
A região limitada pela curva
e pelas retas
e
, ao ser girada em torno do eixo x determina um sólido de volume V . Calcule o volume desse sólido.
(A) 180 u.v
(B) 162 u.v
(C)
(D) 136 u.v
(E) 120 u.v
(A) 180 u.v
(B) 162 u.v
(C)
(D) 136 u.v
(E) 120 u.v
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- A curva:
. - As retas verticais:
e . - A região é girada em torno do eixo
e o sólido gerado tem volume a ser calculado.
Dados numéricos úteis que eu peguei do enunciado:
- Em
: . - Em
: .
O que o enunciado pede: calcular o volume
do sólido obtido ao girar a região (descrita acima) em torno do eixo
.
Passo 2
Escolhendo o método (explicação didática): método dos discos (ou “fatias”) — por que ele serve aqui?
Quando uma região limitada acima pelo gráfico de uma função
e abaixo pelo eixo
é girada em torno do eixo
, cada fatia vertical de espessura infinitesimal
gera um disco cuja área da seção transversal é
. O volume dessa fatia aproximada é
Integrando essas fatias de
até
obtemos o volume exato:
Explicando as variáveis dessa fórmula:
-
é a função que dá o raio do disco em cada posição . -
e são os limites de integração no eixo (aqui e ). -
é a área da seção transversal perpendicular ao eixo . -
é a espessura infinitesimal da fatia.
Observação importante (empatia): aqui estou assumindo que a região que gira está limitada abaixo pelo eixo
(ou seja, consideramos a área entre
e
para
), que é a interpretação usual em exercícios desse tipo quando se fala em “região limitada pela curva e pelas retas verticais” e se pede o volume em torno do eixo
.
Passo 3
Aplicando o método dos discos ao nosso caso.
A função que dá o raio do disco é
. Os limites são
e
. Logo o volume é
Passo 4
Calcular a integral passo a passo.
Primeiro expandir o quadrado:
Então
Agora usamos as regras básicas de integração:
-
para . - A integral é linear, ou seja, soma das integrais dos termos.
Integrando termo a termo:
Simplificando os coeficientes:
Portanto uma primitiva é
Agora aplicamos os limites de
a
:
Calcular
:
Calcular
:
Subtraindo:
Logo o volume exato é
Passo 5
Interpretação numérica e comparação com as alternativas.
O valor exato encontrado é
.
Se for pedido um valor numérico aproximado com
, temos
No entanto, as alternativas da questão são números inteiros sem
. Um procedimento comum em algumas provas é aproximar
por
. Usando
obtemos
que coincide com a alternativa (C).
Dica de prova: sempre calcule primeiro o valor exato em termos de
(aqui
) e só depois, se necessário para a prova, arredonde
conforme a instrução do exame (alguns usam
, outros
, etc.). Para esta lista de alternativas, a que faz sentido é
(obtida com
).
Resposta
(C) 158 u.v