30^{\mathrm{a}} Questão

A região limitada pela curva y=2 x+1 e pelas retas x=1 e x=3, ao ser girada em torno do eixo x determina um sólido de volume V . Calcule o volume desse sólido.
(A) 180 u.v
(B) 162 u.v
(C) 158 u . v
(D) 136 u.v
(E) 120 u.v

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • A curva: y=2x+1.
  • As retas verticais: x=1 e x=3.
  • A região é girada em torno do eixo x e o sólido gerado tem volume V a ser calculado.
Dados numéricos úteis que eu peguei do enunciado:
  • Em x=1: y(1)=2\cdot1+1=3.
  • Em x=3: y(3)=2\cdot3+1=7.
O que o enunciado pede: calcular o volume V do sólido obtido ao girar a região (descrita acima) em torno do eixo x.

Passo 2

Escolhendo o método (explicação didática): método dos discos (ou “fatias”) — por que ele serve aqui?
Quando uma região limitada acima pelo gráfico de uma função y=f(x) e abaixo pelo eixo x é girada em torno do eixo x, cada fatia vertical de espessura infinitesimal dx gera um disco cuja área da seção transversal é \pi\big(f(x)\big)^2. O volume dessa fatia aproximada é
dV \approx \pi\big(f(x)\big)^2\,dx.
Integrando essas fatias de x=a até x=b obtemos o volume exato:
V=\pi\int_{a}^{b}\big(f(x)\big)^2\,dx.
Explicando as variáveis dessa fórmula:
  • f(x) é a função que dá o raio do disco em cada posição x.
  • a e b são os limites de integração no eixo x (aqui a=1 e b=3).
  • \pi\big(f(x)\big)^2 é a área da seção transversal perpendicular ao eixo x.
  • dx é a espessura infinitesimal da fatia.
Observação importante (empatia): aqui estou assumindo que a região que gira está limitada abaixo pelo eixo x (ou seja, consideramos a área entre y=2x+1 e y=0 para 1\le x\le3), que é a interpretação usual em exercícios desse tipo quando se fala em “região limitada pela curva e pelas retas verticais” e se pede o volume em torno do eixo x.

Passo 3

Aplicando o método dos discos ao nosso caso.
A função que dá o raio do disco é f(x)=y=2x+1. Os limites são x=1 e x=3. Logo o volume é
V=\pi\int_{1}^{3}\big(2x+1\big)^2\,dx.

Passo 4

Calcular a integral passo a passo.
Primeiro expandir o quadrado:
\big(2x+1\big)^2 = 4x^2 + 4x + 1.
Então
V=\pi\int_{1}^{3}\big(4x^2+4x+1\big)\,dx.
Agora usamos as regras básicas de integração:
  • \displaystyle\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq-1.
  • A integral é linear, ou seja, soma das integrais dos termos.
Integrando termo a termo:
\int\big(4x^2+4x+1\big)\,dx =4\int x^2\,dx + 4\int x\,dx + \int 1\,dx =4\cdot\frac{x^3}{3} + 4\cdot\frac{x^2}{2} + x.
Simplificando os coeficientes:
4\cdot\frac{x^3}{3} = \frac{4}{3}x^3,\qquad 4\cdot\frac{x^2}{2}=2x^2.
Portanto uma primitiva é
F(x)=\frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x.
Agora aplicamos os limites de 1 a 3:
\int_{1}^{3}\big(4x^2+4x+1\big)\,dx = F(3)-F(1).
Calcular F(3):
F(3)=\frac{4}{3}\cdot 3^3 + 2\cdot 3^2 + 3 = \frac{4}{3}\cdot 27 + 2\cdot 9 + 3 =36 + 18 + 3 = 57.
Calcular F(1):
F(1)=\frac{4}{3}\cdot 1^3 + 2\cdot 1^2 + 1 = \frac{4}{3} + 2 + 1 = \frac{4}{3} + 3 = \frac{13}{3}.
Subtraindo:
F(3)-F(1) = 57 - \frac{13}{3} = \frac{171}{3} - \frac{13}{3} = \frac{158}{3}.
Logo o volume exato é
V = \pi\cdot\frac{158}{3} = \frac{158\pi}{3}\\ \text{u.v.}

Passo 5

Interpretação numérica e comparação com as alternativas.
O valor exato encontrado é \displaystyle V=\frac{158\pi}{3}.
Se for pedido um valor numérico aproximado com \pi\approx3{,}1416, temos
V\approx \frac{158}{3}\cdot 3{,}1416 \approx 165{,}45\\ \text{u.v.}
No entanto, as alternativas da questão são números inteiros sem \pi. Um procedimento comum em algumas provas é aproximar \pi por 3. Usando \pi\approx 3 obtemos
V\approx \frac{158\cdot 3}{3}=158\\ \text{u.v.}
que coincide com a alternativa (C).
Dica de prova: sempre calcule primeiro o valor exato em termos de \pi (aqui \dfrac{158\pi}{3}) e só depois, se necessário para a prova, arredonde \pi conforme a instrução do exame (alguns usam \pi=3, outros \pi=3{,}14, etc.). Para esta lista de alternativas, a que faz sentido é 158 (obtida com \pi\approx3).

Resposta

(C) 158 u.v

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