Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes fornecidas:
1) A função a integrar é a soma de duas parcelas racionais:
e
.\n
2) Trata-se de uma integral indefinida, então o resultado será uma família de primitivas com constante de integração
.\n
3) Não há figura ou tabela; toda informação necessária está no próprio integrando.
Passo 2
Usamos a propriedade de linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais. Ou seja,
Isto é útil porque cada parcela pode ser integrada por um método simples diferente.
Passo 3
Vamos tratar a primeira parcela
Há uma regra padrão: para integrais do tipo
, fazemos a substituição
. Vou explicar essa regra.
Passo 4
Regra e demonstração rápida: seja a constante
. Se
então
, logo
. Assim
No nosso caso
e
, portanto
(Como
não aparece fator extra.)
Passo 5
Agora a segunda parcela:
Aqui a ideia natural é a substituição
. Vamos aplicar e explicar passo a passo.
Passo 6
Definindo
, temos
. Isso significa que
. Substituindo na integral,
A integral de
é o logaritmo natural:
Voltando à variável
,
Observação:
para todo
, então
; podemos escrever simplesmente
.
Passo 7
Somando as duas primitivas encontradas (e unificando as constantes
e
numa única constante
), temos a primitiva geral da integral original:
Também é possível combinar os logaritmos em um só:
ambas as formas são equivalentes.
Passo 8
Verificação rápida (diferenciação): derivando
obtemos
que é exatamente o integrando. Assim a resposta está correta.