Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int\left(\frac{1}{x+2}+\frac{2 x}{x^{2}+4}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(\frac{1}{x+2}+\frac{2 x}{x^{2}+4}\right)\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
\; 1) A função a integrar é a soma de duas parcelas racionais: \frac{1}{x+2} e \frac{2x}{x^{2}+4}.\n \; 2) Trata-se de uma integral indefinida, então o resultado será uma família de primitivas com constante de integração C.\n \; 3) Não há figura ou tabela; toda informação necessária está no próprio integrando.

Passo 2

Usamos a propriedade de linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais. Ou seja,
\int\left(\frac{1}{x+2}+\frac{2 x}{x^{2}+4}\right)\,dx = \int\frac{1}{x+2}\,dx + \int\frac{2x}{x^{2}+4}\,dx.
Isto é útil porque cada parcela pode ser integrada por um método simples diferente.

Passo 3

Vamos tratar a primeira parcela
\int\frac{1}{x+2}\,dx.
Há uma regra padrão: para integrais do tipo \int\frac{1}{ax+b}\,dx, fazemos a substituição u=ax+b. Vou explicar essa regra.

Passo 4

Regra e demonstração rápida: seja a constante a\neq0. Se u=ax+b então du=a\,dx, logo dx=\frac{1}{a}du. Assim
\int\frac{1}{ax+b}\,dx = \int\frac{1}{u}\cdot\frac{1}{a}\,du = \frac{1}{a}\ln\lvert u\rvert + C = \frac{1}{a}\ln\lvert ax+b\rvert + C.
No nosso caso a=1 e b=2, portanto
\int\frac{1}{x+2}\,dx=\ln\lvert x+2\rvert + C_1.
(Como a=1 não aparece fator extra.)

Passo 5

Agora a segunda parcela:
\int\frac{2x}{x^{2}+4}\,dx.
Aqui a ideia natural é a substituição u=x^{2}+4. Vamos aplicar e explicar passo a passo.

Passo 6

Definindo u=x^{2}+4, temos du=2x\,dx. Isso significa que 2x\,dx=du. Substituindo na integral,
\int\frac{2x}{x^{2}+4}\,dx = \int\frac{1}{u}\,du.
A integral de 1/u é o logaritmo natural:
\int\frac{1}{u}\,du=\ln\lvert u\rvert + C_2.
Voltando à variável x,
\int\frac{2x}{x^{2}+4}\,dx=\ln\lvert x^{2}+4\rvert + C_2.
Observação: \;x^{2}+4>0 para todo x, então \lvert x^{2}+4\rvert=x^{2}+4; podemos escrever simplesmente \ln(x^{2}+4).

Passo 7

Somando as duas primitivas encontradas (e unificando as constantes C_1 e C_2 numa única constante C), temos a primitiva geral da integral original:
\ln\lvert x+2\rvert + \ln(x^{2}+4) + C.
Também é possível combinar os logaritmos em um só:
\ln\big(\lvert x+2\rvert\,(x^{2}+4)\big) + C,
ambas as formas são equivalentes.

Passo 8

Verificação rápida (diferenciação): derivando \ln\lvert x+2\rvert + \ln(x^{2}+4) obtemos
\frac{1}{x+2} + \frac{2x}{x^{2}+4},
que é exatamente o integrando. Assim a resposta está correta.

Resposta

\ln\lvert x+2\rvert+\ln(x^{2}+4)+C

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