Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas relevantes:
- A integranda é a soma de duas funções:
e . - Como há radicais com
no denominador, a expressão está definida para (vamos trabalhar nesse domínio). - O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa soma, isto é, uma função
tal que .
Passo 2
Primeiro passo prático: reescrever as raízes como potências, porque a regra que usaremos é mais simples em termos de potências. Lembre-se:
Assim a integral fica
Trocar radicais por potências é uma habilidade útil: facilita o uso direto da regra de potência para integrais.
Passo 3
Apresento a regra de potência para integrais (a “fórmula” que vamos usar):
Explicando: aqui
é a variável de integração,
é um número real que representa o expoente. A constante
é a constante de integração, porque primitiva não é única — podemos somar qualquer constante e ainda ter uma derivada igual à integranda. A condição
existe porque para
a integral é
, que é um caso especial.
Passo 4
Aplicando a regra de potência ao primeiro termo
.
Aqui . Então
Aqui
Pela fórmula,
Dividir por
é o mesmo que multiplicar por
, logo
Passo 5
Agora o segundo termo
.
Aqui . Então
Aqui
Pela fórmula,
Dividir por
é multiplicar por
, logo
Passo 6
Somando as duas primitivas (podemos juntar as constantes
e
em uma única constante
):
Se você preferir a escrita com radicais, use
e
, então uma forma equivalente é
Passo 7
Vale sempre checar: diferenciando o resultado voltamos à integranda. Derivando termo a termo (regra da potência para derivadas):
-
. -
.
Somando:, que é exatamente a integranda. Então a primitiva está correta. Força aí — tá indo bem!