Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\,dx.
Informações dadas relevantes:
  • A integranda é a soma de duas funções: \sqrt{x} e \dfrac{1}{\sqrt{x}}.
  • Como há radicais com x no denominador, a expressão está definida para x>0 (vamos trabalhar nesse domínio).
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa soma, isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}.

Passo 2

Primeiro passo prático: reescrever as raízes como potências, porque a regra que usaremos é mais simples em termos de potências. Lembre-se:
\sqrt{x}=x^{1/2},\qquad \frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}.
Assim a integral fica
\int\left(x^{1/2}+x^{-1/2}\right)\,dx.
Trocar radicais por potências é uma habilidade útil: facilita o uso direto da regra de potência para integrais.

Passo 3

Apresento a regra de potência para integrais (a “fórmula” que vamos usar):
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\qquad \text{para } n\neq -1.
Explicando: aqui x é a variável de integração, n é um número real que representa o expoente. A constante C é a constante de integração, porque primitiva não é única — podemos somar qualquer constante e ainda ter uma derivada igual à integranda. A condição n\neq -1 existe porque para n=-1 a integral é \int x^{-1}dx=\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C, que é um caso especial.

Passo 4

Aplicando a regra de potência ao primeiro termo x^{1/2}.
Aqui n=\tfrac{1}{2}. Então
n+1=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}.
Pela fórmula,
\int x^{1/2}\,dx=\frac{x^{3/2}}{3/2}+C_1.
Dividir por 3/2 é o mesmo que multiplicar por \tfrac{2}{3}, logo
\int x^{1/2}\,dx=\frac{2}{3}x^{3/2}+C_1.

Passo 5

Agora o segundo termo x^{-1/2}.
Aqui n=-\tfrac{1}{2}. Então
n+1=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}.
Pela fórmula,
\int x^{-1/2}\,dx=\frac{x^{1/2}}{1/2}+C_2.
Dividir por 1/2 é multiplicar por 2, logo
\int x^{-1/2}\,dx=2x^{1/2}+C_2.

Passo 6

Somando as duas primitivas (podemos juntar as constantes C_1 e C_2 em uma única constante C):
\int\left(x^{1/2}+x^{-1/2}\right)\,dx=\frac{2}{3}x^{3/2}+2x^{1/2}+C.
Se você preferir a escrita com radicais, use x^{3/2}=x\sqrt{x} e x^{1/2}=\sqrt{x}, então uma forma equivalente é
\frac{2}{3}x\sqrt{x}+2\sqrt{x}+C.

Passo 7

Vale sempre checar: diferenciando o resultado voltamos à integranda. Derivando termo a termo (regra da potência para derivadas):
  • \displaystyle\frac{d}{dx}\!\left(\frac{2}{3}x^{3/2}\right)=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}x^{1/2}=x^{1/2}.
  • \displaystyle\frac{d}{dx}\!(2x^{1/2})=2\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=x^{-1/2}.
    Somando: x^{1/2}+x^{-1/2}, que é exatamente a integranda. Então a primitiva está correta. Força aí — tá indo bem!

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}x^{3/2}+2x^{1/2}+C

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