29 Os valores abaixo representam as notas obtidas por 40 alunos em uma prova de Estatística em uma escala entre 0 e 10:
llllllll 8,8 & 8,3 & 4,6 & 7,9 & 5,8 & 3,2 & 1,8 & 4,6 2,6 & 5,4 & 9,6 & 6,8 & 4,3 & 5,3 & 1,3 & 9,6 4,4 & 7,4 & 5,9 & 3,1 & 8,2 & 0,6 & 8,8 & 3,8 2,2 & 6,4 & 7,8 & 5,1 & 3,7 & 4,8 & 8,2 & 6,9 3,6 & 4,8 & 7,5 & 6,4 & 2,8 & 9,8 & 7,4 & 4,6
(a) Calcule a média, a mediana, a variância e o desvio padrão das notas usando os dados brutos.
(b) Complete a tabela de classes a seguir e, com base nos dados tabulares, calcule novamente a média, a mediana, a variância e o desvio padrão.
© Prepare um histograma para os dados.
Classe
Frequência
absoluta
Frequência
acumulada
Frequência
relativa (%)
Frequência
relativa
acumulada (%)
c|c|c|c|c hline hline Classe & c Frequência absoluta
c Frequência acumulada
c Frequência relativa (%)
c Frequência relativa acumulada (%)
0 vdash 2
TOTAL

Passo 1

Beleza, o exercício é sobre Estatística Descritiva. A gente tem as notas de 40 alunos (de 0 a 10) e precisa:
(a) calcular média, mediana, variância e desvio padrão “no olho” dos dados brutos;
(b) agrupar em classes (0–2, 2–4, 4–6, 6–8, 8–10), montar tabela com frequência absoluta, acumulada, relativa e relativa acumulada e, a partir dessa tabela, recalcular as mesmas medidas usando os pontos médios de cada classe;
© desenhar o histograma.
Para resolver, vamos usar:
  • Definição de média aritmética: .
  • Mediana: valor central (ou média dos dois centrais) num conjunto ordenado.
  • Variância populacional: ou .
  • Desvio padrão: .
  • No caso de dados agrupados, usar os pontos médios de cada classe e fórmulas análogas, trocando as pelos pontos médios e as somas por .

Passo 2

Calcular a média aritmética dos dados brutos.
  1. Soma de todas as notas: bar x = sum xin = 224,140 = 5,6025approx 5,60 .
  2. Número de notas: .
  3. Média:

Passo 3

Calcular a mediana dos dados brutos.
  1. Ordenamos as 40 notas do menor ao maior.
  2. Como tilde x = 5,3 + 5,42 = 5,35 é par, a mediana é a média aritmética da 20ª e da 21ª nota ordenadas.
  3. As notas 20ª e 21ª são e .
  4. Mediana:

Passo 4

Calcular variância e desvio padrão dos dados brutos.
  1. Usamos sigma^2 = 1488,1940 - (5,6025)^2 = 37,2048 - 31,4020 approx 5,8028 .
  2. Somatório dos quadrados: sigma = raiz5,8028 approx 2,41 .
  3. Logo
  1. Desvio padrão:

Passo 5

Montar a tabela de frequências por classes (amplitude 2):
Classe | | | (%) | (%)
0–2 | 3 | 3 | 7,5 | 7,5
2–4 | 8 | 11 | 20 | 27,5
4–6 | 12 | 23 | 30 | 57,5
6–8 | 9 | 32 | 22,5 | 80
8–10 | 8 | 40 | 20 | 100
Total | 40 | – | 100 | –

Passo 6

Recalcular as medidas usando os pontos médios bar xg = sum fi xin = 3cdot1 + 8cdot3 + 12cdot5 + 9cdot7 + 8cdot940 = 22240 = 5,55 das classes:
• Pontos médios: 1, 3, 5, 7, 9.
• Frequências: 3, 8, 12, 9, 8.
  1. Média agrupada:
tilde xg = L + tfrac n2 - Fantfmedtimes h = 4 + 20 - 1112times 2 = 4 + 912times2 = 5,5
  1. Mediana grupada (interpolação na classe 4–6):
sigma^2g = sum fi xi^2n - bar xg^2 = 3cdot1^2 + 8cdot3^2 + 12cdot5^2 + 9cdot7^2 + 8cdot9^240 - (5,55)^2 = 146440 - 30,8025 = 36,6 - 30,8025 approx 5,7975
Aqui sigmag = raiz5,7975 approx 2,41 , , , .
  1. Variância agrupada:
Desvio padrão:

Passo 7

Preparar o histograma:
  • No eixo horizontal, as classes [0,2), [2,4), [4,6), [6,8), [8,10].
  • No eixo vertical, a frequência absoluta .
  • Cada retângulo tem base 2 e altura igual a respectivamente.

Resposta

(a) Dados brutos:
• Média
• Mediana
• Variância
• Desvio padrão
(b) Dados agrupados:
• Média
• Mediana
• Variância
• Desvio padrão
© Histograma com classes de amplitude 2 e alturas iguais às frequências absolutas .

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