29 Os valores abaixo representam as notas obtidas por 40 alunos em uma prova de Estatística em uma escala entre 0 e 10:
(a) Calcule a média, a mediana, a variância e o desvio padrão das notas usando os dados brutos.
(b) Complete a tabela de classes a seguir e, com base nos dados tabulares, calcule novamente a média, a mediana, a variância e o desvio padrão.
© Prepare um histograma para os dados.
Classe
Frequência
absoluta
Frequência
acumulada
Frequência
relativa (%)
Frequência
relativa
acumulada (%)
TOTAL
(b) Complete a tabela de classes a seguir e, com base nos dados tabulares, calcule novamente a média, a mediana, a variância e o desvio padrão.
© Prepare um histograma para os dados.
Classe |
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TOTAL |
Passo 1
Beleza, o exercício é sobre Estatística Descritiva. A gente tem as notas de 40 alunos (de 0 a 10) e precisa:
(a) calcular média, mediana, variância e desvio padrão “no olho” dos dados brutos;
(b) agrupar em classes (0–2, 2–4, 4–6, 6–8, 8–10), montar tabela com frequência absoluta, acumulada, relativa e relativa acumulada e, a partir dessa tabela, recalcular as mesmas medidas usando os pontos médios de cada classe;
© desenhar o histograma.
(a) calcular média, mediana, variância e desvio padrão “no olho” dos dados brutos;
(b) agrupar em classes (0–2, 2–4, 4–6, 6–8, 8–10), montar tabela com frequência absoluta, acumulada, relativa e relativa acumulada e, a partir dessa tabela, recalcular as mesmas medidas usando os pontos médios de cada classe;
© desenhar o histograma.
Para resolver, vamos usar:
- Definição de média aritmética:
. - Mediana: valor central (ou média dos dois centrais) num conjunto ordenado.
- Variância populacional:
ou . - Desvio padrão:
. - No caso de dados agrupados, usar os pontos médios de cada classe e fórmulas análogas, trocando as
pelos pontos médios e as somas por .
Passo 2
Calcular a média aritmética dos dados brutos.
- Soma de todas as notas:
. - Número de notas:
. - Média:
Passo 3
Calcular a mediana dos dados brutos.
- Ordenamos as 40 notas do menor ao maior.
- Como
é par, a mediana é a média aritmética da 20ª e da 21ª nota ordenadas. - As notas 20ª e 21ª são
e . - Mediana:
Passo 4
Calcular variância e desvio padrão dos dados brutos.
- Usamos
. - Somatório dos quadrados:
. - Logo
- Desvio padrão:
Passo 5
Montar a tabela de frequências por classes (amplitude 2):
Classe |
|
|
(%) |
(%)
0–2 | 3 | 3 | 7,5 | 7,5
2–4 | 8 | 11 | 20 | 27,5
4–6 | 12 | 23 | 30 | 57,5
6–8 | 9 | 32 | 22,5 | 80
8–10 | 8 | 40 | 20 | 100
Total | 40 | – | 100 | –
0–2 | 3 | 3 | 7,5 | 7,5
2–4 | 8 | 11 | 20 | 27,5
4–6 | 12 | 23 | 30 | 57,5
6–8 | 9 | 32 | 22,5 | 80
8–10 | 8 | 40 | 20 | 100
Total | 40 | – | 100 | –
Passo 6
Recalcular as medidas usando os pontos médios
das classes:
• Pontos médios: 1, 3, 5, 7, 9.
• Frequências: 3, 8, 12, 9, 8.
• Pontos médios: 1, 3, 5, 7, 9.
• Frequências: 3, 8, 12, 9, 8.
- Média agrupada:
- Mediana grupada (interpolação na classe 4–6):
Aqui
,
,
,
.
- Variância agrupada:
Desvio padrão:
Passo 7
Preparar o histograma:
- No eixo horizontal, as classes [0,2), [2,4), [4,6), [6,8), [8,10].
- No eixo vertical, a frequência absoluta
. - Cada retângulo tem base 2 e altura igual a
respectivamente.
Resposta
(a) Dados brutos:
• Média
• Mediana
• Variância
• Desvio padrão
• Média
• Mediana
• Variância
• Desvio padrão
(b) Dados agrupados:
• Média
• Mediana
• Variância
• Desvio padrão
• Média
• Mediana
• Variância
• Desvio padrão
© Histograma com classes de amplitude 2 e alturas iguais às frequências absolutas
.