Uma amostra aleatória de alturas de 20 crianças resultou em:
\begin{array}{llllllllllllllllll} 142 & 134 & 98 & 119 & 131 & 103 & 154 & 122 & 93 & 137 & 86 & 119 & 161 & 144 & 158 & 165 & 81 & 117 \\\\ 128 & 103 \end{array}
Determine um intervalo de 95 \% de confiança para a mediana utilizando a distribuição binomial.

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra aleatória de n=20 alturas e pede um intervalo de confiança de 95\% para a mediana usando a distribuição binomial aplicada a estatísticas de ordem. Vamos:
  1. ordenar os dados,
  2. usar que, se M é a mediana, então
P\bigl(X_{(k)} \le M \le X_{(n-k+1)}\bigr) = \sum_{i=k}^{n-k} \binom{n}{i} \Bigl(\tfrac12\Bigr)^n,
e escolher k tal que essa probabilidade seja pelo menos 0,95.

Passo 2

Ao ordenar as 20 observações, obtemos
81,\;86,\;93,\;98,\;103,\;103,\;117,\;119,\;119,\;122,\;128,\;131,\;134,\;137,\;142,\;144,\;154,\;158,\;161,\;165.

Passo 3

Para um nível de confiança 1-\alpha=0,95 com \alpha=0,05, devemos ter
P\bigl(X_{(k)} \le M \le X_{(n-k+1)}\bigr) \ge 0,95,
o que equivale a
1 - 2\,P\bigl(B\le k-1\bigr) \ge 0,95,
onde B\sim\mathrm{Bin}(n=20,p=0,5).

Passo 4

Calculamos a cauda inferior de B:
P(B\le 5)\approx 0{,}0207,\quad P(B\le 6)\approx 0{,}0576.
Queremos P(B\le k-1)\le \tfrac{\alpha}{2}=0{,}025. Como
P(B\le 5)=0{,}0207\le 0{,}025 \quad\text{e}\quad P(B\le 6)=0{,}0576>0{,}025,
o menor k que satisfaz é k=6.

Passo 5

Logo o nosso intervalo de confiança de 95\% para a mediana é dado por
\bigl[X_{(6)},\,X_{(20-6+1)}\bigr] = \bigl[X_{(6)},\,X_{(15)}\bigr].
Da ordenação, X_{(6)}=103 e X_{(15)}=142.

Resposta

O intervalo de confiança de 95\% para a mediana é [103,\,142].

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