2A. 4 Perda de partículas de catalisador em gás de chaminé. (a) Estime o diâmetro máximo de partículas microesféricas de um catalisador que podem ser perdidas no gás de chaminé de uma unidade de craqueamento fluido, sob as seguintes condições:
Velocidade do gás no eixo da chaminé
(vertical e para cima)
Viscosidade do gás
Densidade do gás
Densidade da partícula de catalisador
Expresse o resultado em mícrons ( 1 mícron
).
(b) É permitido usar a lei de Stokes em (a)?
Velocidade do gás no eixo da chaminé
Viscosidade do gás
Densidade do gás
Densidade da partícula de catalisador
Expresse o resultado em mícrons ( 1 mícron
(b) É permitido usar a lei de Stokes em (a)?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Estimar o diâmetro máximo das partículas microesféricas de catalisador que podem ser levadas pelo gás ascendente da chaminé (isto é, para as quais a velocidade terminal de queda relativa ao gás é igual à velocidade do gás, de modo que partículas menores ou iguais a esse diâmetro serão arrastadas).
- (b) Dizer se é permitido usar a lei de Stokes no item (a).
Dados fornecidos (vou repetir exatamente os números do enunciado):
- Velocidade do gás no eixo da chaminé:
(vertical e para cima). - Viscosidade do gás:
. - Densidade do gás:
. - Densidade da partícula:
.
Pergunta (a): encontrar o maior diâmetro
(em mícrons,
) tal que a partícula seja arrastada para cima pelo gás de velocidade dada.
Pergunta (b): avaliar se o uso da lei de Stokes é permitido.
Pergunta (b): avaliar se o uso da lei de Stokes é permitido.
Passo 2
Primeiro passo prático: converter todos os dados para o sistema SI (m, kg, s, Pa·s) para usar fórmulas padrão sem confusão de unidades.
Conversões úteis:
-
. -
. -
. -
.
Agora converter valor a valor:
- Velocidade do gás:
- Viscosidade:
- Densidade do gás:
(Arredondei para quatro casas significativas:
.)
- Densidade da partícula:
A gravidade:
.
Passo 3
Explico aqui a fórmula física usada (aula rápida e prática):
Para partículas esféricas pequenas em um fluido, na condição de regime de escoamento laminar em torno da partícula (regime de Stokes), a velocidade terminal relativa da partícula em relação ao fluido é dada pela lei de Stokes:
onde:
-
é a velocidade terminal da partícula relativa ao fluido (m/s); -
é a densidade da partícula (kg/m^{3}); -
é a densidade do fluido (aqui o gás) (kg/m^{3}); -
é a aceleração da gravidade (m/s^{2}); -
é o diâmetro da partícula (m); -
é a viscosidade dinâmica do fluido (Pa·s).
No nosso problema a condição limite para perda de partículas é quando a velocidade terminal de queda relativa ao gás é igual à velocidade ascendente do gás:
. Assim, resolveremos a fórmula acima para
:
Vou usar essa expressão com os valores em SI que já calculei.
Passo 4
Substituir os números (tudo em SI) na expressão para
.
Primeiro escrevo a fórmula com os números:
Calcular passo a passo o numerador e denominador:
Numerador:
Multiplicando por
:
Denominador:
Agora a razão:
Tirando a raiz:
Passo 5
Converter o resultado para mícrons (
):
portanto
Arredondando de forma razoável para uma estimativa prática:
Passo 6
Agora respondo a (b): verificar se podemos usar a lei de Stokes. A condição de validade prática da lei de Stokes (forma simples usada) é que o número de Reynolds da partícula seja pequeno, tipicamente
e, na prática, costuma-se exigir
para boa precisão.
O número de Reynolds da partícula é
onde
é a velocidade relativa fluido–partícula; na condição limite que usamos
.
Substituindo os valores:
Calculemos:
Produto no numerador: . Multiplicando por
dá
. Dividindo por
:
Produto no numerador:
Conclusão sobre validade:
- Obtivemos
, ou seja, da ordem de unidade e bem maior do que . Portanto a condição estrita para uso preciso da lei de Stokes não é satisfeita. - Resultado prático: a lei de Stokes, na sua forma simples, não é rigorosamente válida aqui; ela fornece apenas uma estimativa aproximada (o erro pode ser notável, mas não colossal). Para maior precisão seria necessário usar uma correção do coeficiente de arrasto (por exemplo a correção de Schiller–Naumann) e resolver implicitamente para
, ou usar a equação geral de arrasto envolvendo . - Observação adicional: a correção de Cunningham (slip) é irrelevante aqui porque ela importa para partículas muito pequenas (ordem do mean free path do gás,
m); com m não é o caso.
Em palavras incentivadoras: a lei de Stokes dá um valor de cerca de
que serve como boa estimativa rápida, mas para especificações finais e projeto deve-se usar correções de arrasto porque
está perto de 1.
Resposta
(a)
(b) Não estritamente. A lei de Stokes é apenas aproximada neste caso porque
(valor maior que
), logo seria necessário usar correções do arrasto para uma resposta mais precisa.