2A. 4 Perda de partículas de catalisador em gás de chaminé. (a) Estime o diâmetro máximo de partículas microesféricas de um catalisador que podem ser perdidas no gás de chaminé de uma unidade de craqueamento fluido, sob as seguintes condições:
Velocidade do gás no eixo da chaminé =1,0 \mathrm{ft} / \mathrm{s} (vertical e para cima)
Viscosidade do gás \quad=0,026 \mathrm{cp}
Densidade do gás \quad=0,045 \mathrm{lb}_{\mathrm{m}} / \mathrm{ft}^{3}
Densidade da partícula de catalisador =1,2 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}
Expresse o resultado em mícrons ( 1 mícron =10^{-6} \mathrm{~m}=1 \mu \mathrm{~m} ).
(b) É permitido usar a lei de Stokes em (a)?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Estimar o diâmetro máximo das partículas microesféricas de catalisador que podem ser levadas pelo gás ascendente da chaminé (isto é, para as quais a velocidade terminal de queda relativa ao gás é igual à velocidade do gás, de modo que partículas menores ou iguais a esse diâmetro serão arrastadas).
  • (b) Dizer se é permitido usar a lei de Stokes no item (a).
Dados fornecidos (vou repetir exatamente os números do enunciado):
  • Velocidade do gás no eixo da chaminé: v_{\text{g}}=1,0\\ \mathrm{ft/s} (vertical e para cima).
  • Viscosidade do gás: \mu=0,026\\ \mathrm{cp}.
  • Densidade do gás: \rho_{\text{g}}=0,045\\ \mathrm{lb_{m}/ft^{3}}.
  • Densidade da partícula: \rho_{\text{p}}=1,2\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
Pergunta (a): encontrar o maior diâmetro d (em mícrons, \mu\mathrm{m}) tal que a partícula seja arrastada para cima pelo gás de velocidade dada.
Pergunta (b): avaliar se o uso da lei de Stokes é permitido.

Passo 2

Primeiro passo prático: converter todos os dados para o sistema SI (m, kg, s, Pa·s) para usar fórmulas padrão sem confusão de unidades.
Conversões úteis:
  • 1\\ \mathrm{ft}=0,3048\\ \mathrm{m}.
  • 1\\ \mathrm{cP}=1\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • 1\\ \mathrm{lb_{m}/ft^{3}}=16{,}018463\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • 1\\ \mathrm{g/cm^{3}}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Agora converter valor a valor:
  • Velocidade do gás:
v_{\text{g}} = 1{,}0\\ \mathrm{ft/s} = 1{,}0\times0{,}3048\\ \mathrm{m/s} = 0{,}3048\\ \mathrm{m/s}.
  • Viscosidade:
\mu = 0{,}026\\ \mathrm{cP} = 0{,}026\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s} = 2{,}6\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Densidade do gás:
\rho_{\text{g}} = 0{,}045\\ \mathrm{lb_{m}/ft^{3}} = 0{,}045\times16{,}018463\\ \mathrm{kg/m^{3}} \approx 0{,}7208\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
(Arredondei para quatro casas significativas: 0{,}7208\\ \mathrm{kg/m^{3}}.)
  • Densidade da partícula:
\rho_{\text{p}} = 1{,}2\\ \mathrm{g/cm^{3}} = 1{,}2\times1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} = 1200\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
A gravidade: g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 3

Explico aqui a fórmula física usada (aula rápida e prática):
Para partículas esféricas pequenas em um fluido, na condição de regime de escoamento laminar em torno da partícula (regime de Stokes), a velocidade terminal relativa da partícula em relação ao fluido é dada pela lei de Stokes:
v_{t}=\frac{(\rho_{\text{p}}-\rho_{\text{g}})\,g\,d^{2}}{18\,\mu},
onde:
  • v_{t} é a velocidade terminal da partícula relativa ao fluido (m/s);
  • \rho_{\text{p}} é a densidade da partícula (kg/m^{3});
  • \rho_{\text{g}} é a densidade do fluido (aqui o gás) (kg/m^{3});
  • g é a aceleração da gravidade (m/s^{2});
  • d é o diâmetro da partícula (m);
  • \mu é a viscosidade dinâmica do fluido (Pa·s).
No nosso problema a condição limite para perda de partículas é quando a velocidade terminal de queda relativa ao gás é igual à velocidade ascendente do gás: v_{t}=v_{\text{g}}. Assim, resolveremos a fórmula acima para d:
d=\sqrt{\frac{18\,\mu\,v_{\text{g}}}{(\rho_{\text{p}}-\rho_{\text{g}})\,g}}.
Vou usar essa expressão com os valores em SI que já calculei.

Passo 4

Substituir os números (tudo em SI) na expressão para d.
Primeiro escrevo a fórmula com os números:
d=\sqrt{\frac{18\cdot(2{,}6\times10^{-5})\cdot(0{,}3048)}{(1200-0{,}7208)\cdot9{,}81}}.
Calcular passo a passo o numerador e denominador:
Numerador:
18\cdot(2{,}6\times10^{-5}) = 18\times2{,}6\times10^{-5} = 46{,}8\times10^{-5} = 4{,}68\times10^{-4}.
Multiplicando por v_{\text{g}}=0{,}3048:
4{,}68\times10^{-4}\times0{,}3048 = 1{,}426464\times10^{-4}.
Denominador:
\rho_{\text{p}}-\rho_{\text{g}} = 1200 - 0{,}7208 = 1199{,}2792\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
(\rho_{\text{p}}-\rho_{\text{g}})\,g = 1199{,}2792\times9{,}81 \approx 11764{,}98\\ (\text{unidade: }\mathrm{kg/(m^{2}\,s^{2})}).
Agora a razão:
\frac{1{,}426464\times10^{-4}}{11764{,}98} \approx 1{,}212\times10^{-8}\\ \mathrm{m^{2}}.
Tirando a raiz:
d \approx \sqrt{1{,}212\times10^{-8}}\\ \mathrm{m} \approx 1{,}101\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Converter o resultado para mícrons ( \mu\mathrm{m}):
1\\ \mathrm{m} = 10^{6}\\ \mu\mathrm{m},
portanto
d \approx 1{,}101\times10^{-4}\\ \mathrm{m} = 1{,}101\times10^{2}\\ \mu\mathrm{m} \approx 110{,}1\\ \mu\mathrm{m}.
Arredondando de forma razoável para uma estimativa prática:
d \approx 1{,}10\times10^{2}\\ \mu\mathrm{m} = 110\\ \mu\mathrm{m}.

Passo 6

Agora respondo a (b): verificar se podemos usar a lei de Stokes. A condição de validade prática da lei de Stokes (forma simples usada) é que o número de Reynolds da partícula seja pequeno, tipicamente \mathrm{Re}_{p}\ll 1 e, na prática, costuma-se exigir \mathrm{Re}_{p}\lesssim0{,}1 para boa precisão.
O número de Reynolds da partícula é
\mathrm{Re}_{p}=\frac{\rho_{\text{g}}\,v_{\text{rel}}\,d}{\mu},
onde v_{\text{rel}} é a velocidade relativa fluido–partícula; na condição limite que usamos v_{\text{rel}}=v_{\text{g}}.
Substituindo os valores:
\mathrm{Re}_{p}=\frac{0{,}7208\cdot0{,}3048\cdot(1{,}101\times10^{-4})}{2{,}6\times10^{-5}}.
Calculemos:
Produto no numerador: 0{,}7208\times0{,}3048 \approx 0{,}2197. Multiplicando por 1{,}101\times10^{-4} \approx 2{,}417\times10^{-5}. Dividindo por 2{,}6\times10^{-5}:
\mathrm{Re}_{p}\approx \frac{2{,}417\times10^{-5}}{2{,}6\times10^{-5}} \approx 0{,}93.
Conclusão sobre validade:
  • Obtivemos \mathrm{Re}_{p}\approx0{,}93, ou seja, da ordem de unidade e bem maior do que 0{,}1. Portanto a condição estrita para uso preciso da lei de Stokes não é satisfeita.
  • Resultado prático: a lei de Stokes, na sua forma simples, não é rigorosamente válida aqui; ela fornece apenas uma estimativa aproximada (o erro pode ser notável, mas não colossal). Para maior precisão seria necessário usar uma correção do coeficiente de arrasto (por exemplo a correção de Schiller–Naumann) e resolver implicitamente para d, ou usar a equação geral de arrasto envolvendo C_{D}(\mathrm{Re}).
  • Observação adicional: a correção de Cunningham (slip) é irrelevante aqui porque ela importa para partículas muito pequenas (ordem do mean free path do gás, \sim10^{-7} m); com d\approx10^{-4} m não é o caso.
Em palavras incentivadoras: a lei de Stokes dá um valor de cerca de 110\\ \mu\mathrm{m} que serve como boa estimativa rápida, mas para especificações finais e projeto deve-se usar correções de arrasto porque \mathrm{Re}_{p} está perto de 1.

Resposta

(a) d\approx110\\ \mu\mathrm{m}
(b) Não estritamente. A lei de Stokes é apenas aproximada neste caso porque \mathrm{Re}_{p}\approx0{,}93 (valor maior que \sim0{,}1), logo seria necessário usar correções do arrasto para uma resposta mais precisa.

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