Uma adutora com comprimento de 500 m e diâmetro de 100 mm interliga dois reservatórios. Sabendo que o nível d’água do reservatório de montante está em uma cota de 50 m e que a vazão aduzida é de 15 \mathrm{~L} / \mathrm{s}, calcule a cota do nível d’água do reservatório de jusante. Dados: fator de atrito, f=0,02 ; g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ; \pi=3(2,0 pontos ).

Passo 1

O que o enunciado fornece e o que pede:
  • Comprimento da adutora: L=500\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro da tubulação: D=100\\ \mathrm{mm}=0,1\\ \mathrm{m}.
  • Vazão: Q=15\\ \mathrm{L/s}=0,015\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Cota do reservatório de montante: z_{\text{mont}}=50\\ \mathrm{m}.
  • Fator de atrito: f=0,02.
  • Aceleração da gravidade: g=10\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Valor de \pi a usar (fornecido): \pi=3.
O que se pede:
  • Calcular a cota do nível d’água do reservatório de jusante, z_{\text{jus}}.

Passo 2

Calcular a área da seção transversal da tubulação. A seção é circular, então a fórmula é
A=\frac{\pi D^{2}}{4}.
Substituindo D=0,1\\ \mathrm{m} e \pi=3:
A=\frac{3\cdot(0,1)^{2}}{4}=\frac{3\cdot 0,01}{4}=\frac{0,03}{4}=0,0075\\ \mathrm{m^{2}}.
Explicação curta: a área de um círculo é \pi r^{2}; como r=D/2, isso dá \pi D^{2}/4. Aqui usamos o \pi indicado no enunciado.

Passo 3

Calcular a velocidade média do escoamento na tubulação a partir de Q e A:
V=\frac{Q}{A}.
Substituindo Q=0,015\\ \mathrm{m^{3}/s} e A=0,0075\\ \mathrm{m^{2}}:
V=\frac{0,015}{0,0075}=2,0\\ \mathrm{m/s}.
Comentário didático: velocidade média é vazão dividida pela área útil; é o que você calcularia numa prova rapidamente.

Passo 4

Calcular a perda de carga por atrito (major loss) usando a fórmula de Darcy–Weisbach:
h_{f}=f\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{V^{2}}{2g},
onde:
  • h_{f} é a perda de carga (em metros de coluna d’água),
  • f é o fator de atrito (adimensional),
  • L é o comprimento da tubulação (m),
  • D é o diâmetro (m),
  • V é a velocidade média (m/s),
  • g é a gravidade (m/s ^2).
Calcule primeiro \dfrac{V^{2}}{2g}:
\frac{V^{2}}{2g}=\frac{(2,0)^{2}}{2\cdot 10}=\frac{4}{20}=0,2\\ \mathrm{m}.
Agora L/D=500/0,1=5000. Substituindo em h_{f}:
h_{f}=0,02\cdot 5000\cdot 0,2.
Fazendo as contas passo a passo:
5000\cdot 0,2=1000, \qquad 0,02\cdot 1000=20.
Logo
h_{f}=20\\ \mathrm{m}.
Interpretação: ao fazer a água percorrer 500 m nessa tubulação com as condições dadas, perde-se o equivalente a 20\\ \mathrm{m} de carga por atrito.

Passo 5

Relacionar as cotas usando a equação de Bernoulli entre as superfícies livres dos dois reservatórios, incluindo a perda de carga h_{f}. Para as superfícies livres (mesma pressão atmosférica) e assumindo velocidades desprezíveis nas superfícies dos reservatórios, a forma reduzida é
z_{\text{mont}} - h_{f} = z_{\text{jus}}.
Explicação: a equação de Bernoulli com perda de carga diz que a soma da cota, pressão e energia cinética por unidade de peso é reduzida pela perda de carga ao longo da tubulação; como as pressões atmosféricas se anulam e as velocidades nas grandes superfícies são ~0, sobra apenas a diferença de cotas igual à perda de carga.
Substituindo os valores:
z_{\text{jus}}=z_{\text{mont}}-h_{f}=50-20=30\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Verificação rápida de coerência: a jusante fica mais baixa que a montante por exatamente a perda de carga calculada; o resultado tem unidades coerentes e magnitudes plausíveis para as condições dadas.
Força final: você já tirou a maior parte do trabalho — área, velocidade, perda de carga e aplicar Bernoulli. Tá indo bem!

Resposta

30\\ \mathrm{m}

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