Uma adutora com comprimento de 1 km e diâmetro de 100 mm interliga dois reservatórios. Sabendo que o nível d’água do reservatório de montante está em uma cota de 100 m e que a vazão aduzida é de 15 \mathrm{~L} / \mathrm{s}, calcule a cota do nível d’água do reservatório de jusante. Despreze as perdas de carga localizadas. Dados: fator de atrito, f =0,02 ; \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ; \pi=3. ( 2,0 pontos)

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a cota do nível d’água do reservatório de jusante:
  • Comprimento da adutora: L=1\\ \text{km}=1000\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro da tubulação: D=100\\ \text{mm}=0,1\\ \mathrm{m}.
  • Cota do reservatório de montante: z_1=100\\ \mathrm{m}.
  • Vazão: Q=15\\ \mathrm{L/s}=0,015\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Fator de atrito: f=0,02.
  • Aceleração da gravidade: g=10\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Use \pi=3.
  • Desprezar perdas localizadas.
O que se pede: calcular a cota do nível d’água do reservatório de jusante z_2.

Passo 2

Ideia física simplificada (explicação didática): em escoamento permanente entre dois reservatórios ligados por uma tubulação sem bombas, a diferença de cota entre os níveis é dada pelas perdas de carga por atrito na tubulação. Como os reservatórios são grandes, a velocidade da água neles é desprezível em comparação com a velocidade na tubulação; assim podemos escrever, de forma simplificada,
z_1 = z_2 + h_f,
onde h_f é a perda de carga por atrito ao longo da tubulação. Portanto, depois de calcular h_f obtemos
z_2 = z_1 - h_f.

Passo 3

Fórmula usada para perdas por atrito (explicação e definição das variáveis): a expressão de Darcy–Weisbach dá a perda de carga por atrito como
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde
  • h_f é a perda de carga por atrito (em metros);
  • f é o fator de atrito (adimensional), dado no enunciado;
  • L é o comprimento da tubulação (em metros);
  • D é o diâmetro interno da tubulação (em metros);
  • V é a velocidade média do fluido na tubulação (em \mathrm{m/s});
  • g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^2}).
Para obter V usamos a relação entre vazão e área:
V = \frac{Q}{A}, \qquad A = \frac{\pi D^2}{4},
onde A é a área da seção transversal.

Passo 4

Calcular a área da seção com \pi=3 (passo a passo):
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{3\cdot(0,1)^2}{4} = \frac{3\cdot 0,01}{4} = \frac{0,03}{4} = 0,0075\\ \mathrm{m^2}.

Passo 5

Calcular a velocidade média V:
V=\frac{Q}{A}=\frac{0,015}{0,0075}=2\\ \mathrm{m/s}.
Comentário: a conta é direta — 0,015 dividido por 0,0075 resulta em 2.

Passo 6

Calcular a grandeza \dfrac{V^2}{2g} explicitando os números:
\frac{V^2}{2g}=\frac{2^2}{2\cdot 10}=\frac{4}{20}=0,2\\ \mathrm{m}.
Essa quantidade é chamada de “carga de velocidade” dividida por 2 g; é a base do termo cinético na fórmula de Darcy–Weisbach.

Passo 7

Calcular h_f aplicando todos os termos:
Primeiro calcule \dfrac{L}{D}:
\frac{L}{D}=\frac{1000}{0,1}=10000.
Agora f\frac{L}{D}:
f\frac{L}{D}=0,02\times 10000=200.
Finalmente,
h_f = 200\times 0,2 = 40\\ \mathrm{m}.
Interpretação: a tubulação perde 40\\ \mathrm{m} de carga por atrito para transportar a vazão dada ao longo de 1\\ \mathrm{km}.

Passo 8

Calcular a cota do reservatório de jusante usando z_2=z_1-h_f:
z_2 = 100 - 40 = 60\\ \mathrm{m}.
Resumo didático final: a diferença de 40 m é a queda de energia por atrito; o reservatório de jusante fica 40 m mais baixo que o montante, ou seja, em 60\\ \mathrm{m}. Boa! Conseguiu chegar ao resultado — na prova faça esses mesmos passos e organize as contas como aqui.

Resposta

60\\ \mathrm{m}

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