3a Questāo: Determine e classifique os pontos criticos de
f(x, y)=x y e^{-x-y}

Passo 1

O enunciado pede: determinar e classificar os pontos críticos da função
f(x,y)=x\,y\,e^{-x-y}.
Informações relevantes dadas:
\text{função }f(x,y)=x\,y\,e^{-x-y}.çã
Perguntas explícitas:
  1. Quais são os pontos críticos de f (pontos onde o gradiente é nulo ou onde as derivadas parciais não existem)?
  2. Classificar cada ponto crítico (máximo local, mínimo local ou sela) usando um critério apropriado.

Passo 2

O que é um ponto crítico e como achá-lo (aula rápida):
Um ponto (x_0,y_0) é crítico se as derivadas parciais primeiras existem e o gradiente é zero, isto é,
\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=0 \quad\text{e}\quad \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=0.
Para calcular derivadas parciais usamos regras básicas: regra do produto e regra da cadeia. Vou calcular \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} passo a passo.
Calculemos \frac{\partial f}{\partial x}. Escrevo f(x,y)=x\cdot\big(y e^{-x-y}\big). Tratando y como constante:
  • derivada de x é 1,
  • derivada de y e^{-x-y} em relação a x é y vezes a derivada de e^{-x-y}, que é -e^{-x-y} (regra da cadeia).
    Portanto,
\frac{\partial f}{\partial x} = 1\cdot\big(y e^{-x-y}\big) + x\cdot\big(y(-e^{-x-y})\big) = y e^{-x-y} - x y e^{-x-y} = y e^{-x-y}(1-x).
Agora \frac{\partial f}{\partial y}. Pela simetria, tratando x como constante:
\frac{\partial f}{\partial y} = x e^{-x-y} - x y e^{-x-y} = x e^{-x-y}(1-y).

Passo 3

Resolver o sistema \frac{\partial f}{\partial x}=0 e \frac{\partial f}{\partial y}=0.
Temos
\frac{\partial f}{\partial x}= y e^{-x-y}(1-x)=0,
\frac{\partial f}{\partial y}= x e^{-x-y}(1-y)=0.
Como e^{-x-y}\neq 0 para todos (x,y), podemos dividir por este fator sem perder soluções. Assim as equações equivalem a
y(1-x)=0, \qquad x(1-y)=0.
Cada uma dá duas possibilidades; vamos combinar:
  • Se y=0, então a segunda equação vira x(1-0)=x=0. Logo x=0. Isso dá o ponto (0,0).
  • Se 1-x=0 (ou seja x=1), então a segunda equação vira 1\cdot(1-y)=0 que implica y=1. Isso dá o ponto (1,1).
  • As outras tentativas (por exemplo x=0 com 1-x não zero ou y=1 com 1-y não zero) levam aos mesmos pontos acima ou não satisfazem ambas as equações simultaneamente.
Portanto os únicos pontos críticos são
(0,0)\quad\text{e}\quad(1,1).

Passo 4

Como classificar os pontos críticos: teste das segundas derivadas (matriz Hessiana).
Definição rápida: a Hessiana é a matriz das segundas derivadas parciais
H(x,y)= \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\[4pt] f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}.
Para um ponto crítico (x_0,y_0) calcula-se o determinante
D(x_0,y_0)=f_{xx}(x_0,y_0)\,f_{yy}(x_0,y_0)-\big(f_{xy}(x_0,y_0)\big)^2.
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local.
  • Se D<0 então ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo (não é o nosso caso, como veremos).
Calculemos as segundas derivadas explicitamente.
Já tínhamos
f_x = y e^{-x-y}(1-x), \qquad f_y = x e^{-x-y}(1-y).
Derivando novamente:
Para f_{xx}: tratar y como constante e derivar f_x:
f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\big[ y(1-x)e^{-x-y} \big] = y\big[(-1)e^{-x-y} + (1-x)(-e^{-x-y})\big] = y e^{-x-y}\big(-1-(1-x)\big) = y e^{-x-y}(x-2).
Para f_{yy} por simetria:
f_{yy}= x e^{-x-y}(y-2).
Para f_{xy} (ou f_{yx}) derivando f_x em relação a y:
f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\big[ y(1-x)e^{-x-y} \big] = (1-x)e^{-x-y} + y(1-x)(-e^{-x-y}) = (1-x)(1-y)e^{-x-y}.]

Passo 5

Avaliar a Hessiana e o discriminante em cada ponto crítico e concluir a classificação.
  1. No ponto (0,0):
e^{-0-0}=1.
Calculamos
f_{xx}(0,0)= y e^{-x-y}(x-2)\Big|_{(0,0)}=0\cdot 1\cdot(-2)=0,
f_{yy}(0,0)= x e^{-x-y}(y-2)\Big|_{(0,0)}=0\cdot 1\cdot(-2)=0,
f_{xy}(0,0)=(1-x)(1-y)e^{-x-y}\Big|_{(0,0)}=1\cdot1\cdot1=1.
Então o determinante da Hessiana é
D(0,0)=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2 = 0\cdot 0 - 1^2 = -1 <0.
Como D<0, pelo teste das segundas derivadas (0,0) é um ponto de sela (saddle point).
  1. No ponto (1,1):
e^{-1-1}=e^{-2}.
Calculamos
f_{xx}(1,1)= y e^{-x-y}(x-2)\Big|_{(1,1)}=1\cdot e^{-2}\cdot(1-2)=-e^{-2},
f_{yy}(1,1)= x e^{-x-y}(y-2)\Big|_{(1,1)}=1\cdot e^{-2}\cdot(1-2)=-e^{-2},
f_{xy}(1,1)=(1-x)(1-y)e^{-x-y}\Big|_{(1,1)}=0\cdot0\cdot e^{-2}=0.
Então
D(1,1)=(-e^{-2})(-e^{-2})-0^2=e^{-4}>0.
Como D>0 e f_{xx}(1,1)=-e^{-2}<0, pelo teste temos um máximo local em (1,1). O valor da função ali é
f(1,1)=1\cdot1\cdot e^{-2}=e^{-2}.

Resposta

(0,0) é ponto de sela (saddle point).
(1,1) é máximo local, com f(1,1)=e^{-2}.

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