3a Questāo: Determine e classifique os pontos criticos de
f(x, y)=x y e^{-x-y}
Passo 1
O enunciado pede: determinar e classificar os pontos críticos da função
f(x,y)=x\,y\,e^{-x-y}.
Informações relevantes dadas:
\text{função }f(x,y)=x\,y\,e^{-x-y}.
Perguntas explícitas:
Quais são os pontos críticos de f (pontos onde o gradiente é nulo ou onde as derivadas parciais não existem)?
Classificar cada ponto crítico (máximo local, mínimo local ou sela) usando um critério apropriado.
Passo 2
O que é um ponto crítico e como achá-lo (aula rápida):
Um ponto (x_0,y_0) é crítico se as derivadas parciais primeiras existem e o gradiente é zero, isto é,
Para calcular derivadas parciais usamos regras básicas: regra do produto e regra da cadeia. Vou calcular \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} passo a passo.
Calculemos \frac{\partial f}{\partial x}. Escrevo f(x,y)=x\cdot\big(y e^{-x-y}\big). Tratando y como constante:
derivada de x é 1,
derivada de y e^{-x-y} em relação a x é y vezes a derivada de e^{-x-y}, que é -e^{-x-y} (regra da cadeia).
Portanto,
\frac{\partial f}{\partial x} = 1\cdot\big(y e^{-x-y}\big) + x\cdot\big(y(-e^{-x-y})\big) = y e^{-x-y} - x y e^{-x-y} = y e^{-x-y}(1-x).
Agora \frac{\partial f}{\partial y}. Pela simetria, tratando x como constante:
\frac{\partial f}{\partial y} = x e^{-x-y} - x y e^{-x-y} = x e^{-x-y}(1-y).
Passo 3
Resolver o sistema \frac{\partial f}{\partial x}=0 e \frac{\partial f}{\partial y}=0.
Temos
\frac{\partial f}{\partial x}= y e^{-x-y}(1-x)=0,
\frac{\partial f}{\partial y}= x e^{-x-y}(1-y)=0.
Como e^{-x-y}\neq 0 para todos (x,y), podemos dividir por este fator sem perder soluções. Assim as equações equivalem a
y(1-x)=0, \qquad x(1-y)=0.
Cada uma dá duas possibilidades; vamos combinar:
Se y=0, então a segunda equação vira x(1-0)=x=0. Logo x=0. Isso dá o ponto (0,0).
Se 1-x=0 (ou seja x=1), então a segunda equação vira 1\cdot(1-y)=0 que implica y=1. Isso dá o ponto (1,1).
As outras tentativas (por exemplo x=0 com 1-x não zero ou y=1 com 1-y não zero) levam aos mesmos pontos acima ou não satisfazem ambas as equações simultaneamente.
Portanto os únicos pontos críticos são
(0,0)\quad\text{e}\quad(1,1).
Passo 4
Como classificar os pontos críticos: teste das segundas derivadas (matriz Hessiana).
Definição rápida: a Hessiana é a matriz das segundas derivadas parciais