2a. Questão 3,0 pt Considere a função f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}, & x \leq 1 \\\\ -x+2, & x>1\end{array}\right..
(a) f é contínua em 1 ? Por quê?
(b) f é derivável em 1? Por quê?

Passo 1

Vou listar exatamente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A função dada é
f(x)=\begin{cases} x^{2}, & x\le 1,\\[4pt] -x+2, & x>1. \end{cases}
  • O enunciado faz duas perguntas separadas:
    (a) f é contínua em 1? Por quê?
    (b) f é derivável em 1? Por quê?
Essas são as únicas informações e perguntas que vou usar.]

Passo 2

Definição útil (explicada devagar): o que significa ser contínua em 1.
  • Dizemos que f é contínua em 1 se o limite de f(x) quando x se aproxima de 1 existir e for igual ao valor f(1). Em símbolos:
\lim_{x\to 1} f(x) = f(1).
  • Como limites unilaterais importam, devemos verificar que os dois limites laterais existem e são iguais:
\lim_{x\to 1^-} f(x)\quad\text{e}\quad \lim_{x\to 1^+} f(x).
Se ambos existem e têm o mesmo valor L, e f(1)=L, então f é contínua em 1.
Vou calcular esses três valores: f(1), \lim_{x\to1^-}f(x) e \lim_{x\to1^+}f(x).

Passo 3

Cálculo de f(1) e dos limites laterais.
  • Como a definição da função diz que para x\le 1 vale f(x)=x^{2}, temos
f(1)=1^{2}=1.
  • Limite pela esquerda ( x\to1^-): para x<1 usamos f(x)=x^{2}. Então
\lim_{x\to1^-} f(x) = \lim_{x\to1^-} x^{2} = 1^{2}=1.
(Explicando: a função x^{2} é contínua em todos os pontos, então o limite quando x\to1 é simplesmente 1^{2}.)
  • Limite pela direita ( x\to1^+): para x>1 usamos f(x)=-x+2. Então
\lim_{x\to1^+} f(x) = \lim_{x\to1^+} (-x+2) = -1+2=1.
(De novo, -x+2 é uma função linear contínua, então o limite ao aproximar x por valores maiores que 1 é -1+2.)

Passo 4

Conclusão sobre continuidade.
  • Obtivemos
\lim_{x\to1^-} f(x)=1,\qquad \lim_{x\to1^+} f(x)=1,\qquad f(1)=1.
  • Como os dois limites laterais existem e são iguais a f(1), segue que
\lim_{x\to1} f(x)=f(1),
portanto f é contínua em 1.
Uma observação intuitiva: não há “salto” nem “buraco” em x=1; as duas ramificações da função se encontram exatamente no ponto (1,1).

Passo 5

Agora vamos à derivabilidade: o que significa f ser derivável em 1.
  • Definição (devagar): f é derivável em 1 se o limite do quociente incremental existe:
f'(1)=\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}
existe (é um número finito). Em termos práticos, isso exige que os dois limites unilaterais (a derivada pela esquerda e a derivada pela direita) existam e sejam iguais:
f'_{-}(1)=\lim_{h\to0^-}\frac{f(1+h)-f(1)}{h},\qquad f'_{+}(1)=\lim_{h\to0^+}\frac{f(1+h)-f(1)}{h},
e que f'_{-}(1)=f'_{+}(1).
Vou calcular essas duas derivadas laterais usando a definição (a conta inteira dá para fazer à mão na prova).

Passo 6

Cálculo da derivada pela esquerda f'_{-}(1).
Para h<0 (aproximação pela esquerda) temos 1+h\le 1, então usamos f(x)=x^{2}. Assim
\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{(1+h)^{2}-1^{2}}{h}=\frac{1+2h+h^{2}-1}{h}=\frac{2h+h^{2}}{h}=2+h.
Agora fazemos o limite quando h\to 0^{-}:
f'_{-}(1)=\lim_{h\to0^-}(2+h)=2.
(Interpretação: a derivada de x^{2} é 2x, então na esquerda em x=1 esperávamos 2\cdot1=2. A conta pelo quociente confirma isso.)

Passo 7

Cálculo da derivada pela direita f'_{+}(1).
Para h>0 (aproximação pela direita) temos 1+h>1, então usamos f(x)=-x+2. Assim
\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{-(1+h)+2-1}{h}=\frac{1-h-1}{h}=\frac{-h}{h}=-1.
Agora o limite quando h\to0^{+} é simples, a expressão é constante:
f'_{+}(1)=\lim_{h\to0^+}(-1)=-1.
(Interpretação: a derivada de -x+2 é -1, então pela direita a inclinação instantânea em x=1 é -1.)

Passo 8

Comparação e conclusão sobre derivabilidade.
  • Encontramos f'_{-}(1)=2 e f'_{+}(1)=-1. Como as derivadas laterais não são iguais, o limite do quociente incremental (o f'(1)) não existe.
  • Portanto f não é derivável em 1.
Intuitivamente: a curva tem um “canto” em x=1 — a inclinação à esquerda é 2 e à direita é -1 — então não existe uma única reta tangente bem definida nesse ponto.
Força aí — esse tipo de exercício é clássico: raramente uma função definida por partes é derivável no ponto de junção, a menos que as inclinações coincidam.

Resposta

(a) Sim. f é contínua em 1.
(b) Não. f não é derivável em 1.

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