2a. Questão 3,0 pt Considere a função f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}, & x \leq 1 \\\\ -x+2, & x>1\end{array}\right..
(a) f é contínua em 1 ? Por quê?
(b) f é derivável em 1? Por quê?
Passo 1
Vou listar exatamente o que o enunciado dá e o que pede.
Como os dois limites laterais existem e são iguais a f(1), segue que
\lim_{x\to1} f(x)=f(1),
portanto f é contínua em 1.
Uma observação intuitiva: não há “salto” nem “buraco” em x=1; as duas ramificações da função se encontram exatamente no ponto (1,1).
Passo 5
Agora vamos à derivabilidade: o que significa f ser derivável em 1.
Definição (devagar): f é derivável em 1 se o limite do quociente incremental existe:
f'(1)=\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}
existe (é um número finito). Em termos práticos, isso exige que os dois limites unilaterais (a derivada pela esquerda e a derivada pela direita) existam e sejam iguais:
Agora o limite quando h\to0^{+} é simples, a expressão é constante:
f'_{+}(1)=\lim_{h\to0^+}(-1)=-1.
(Interpretação: a derivada de -x+2 é -1, então pela direita a inclinação instantânea em x=1 é -1.)
Passo 8
Comparação e conclusão sobre derivabilidade.
Encontramos f'_{-}(1)=2 e f'_{+}(1)=-1. Como as derivadas laterais não são iguais, o limite do quociente incremental (o f'(1)) não existe.
Portanto f não é derivável em 1.
Intuitivamente: a curva tem um “canto” em x=1 — a inclinação à esquerda é 2 e à direita é -1 — então não existe uma única reta tangente bem definida nesse ponto.
Força aí — esse tipo de exercício é clássico: raramente uma função definida por partes é derivável no ponto de junção, a menos que as inclinações coincidam.
Resposta
(a) Sim. f é contínua em 1.
(b) Não. f não é derivável em 1.