Isso é tudo o que precisamos sobre a série geométrica.
Passo 3
Vamos manipular a expressão \dfrac{x^{3}}{x+2} para fazê-la parecer com a forma \text{constante}\times\dfrac{1}{1-r}. Primeiro fatoramos 2 no denominador:
Note que \dfrac{1}{1+\dfrac{x}{2}} é da forma \dfrac{1}{1-r} com r=-\dfrac{x}{2}. Vamos aplicar a série geométrica com r=-\dfrac{x}{2}. A condição |r|<1 fica
Justificativa da região de validade por teste de razão (confirmando a condição): os coeficientes gerais são a_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{2^{n+1}} para o termo em x^{n+3}. Aplicando o teste da razão à série em potências de x,