Exercício 2.38 Mostre que
\frac{x^{3}}{x+2}=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{2^{n+1}} x^{n+3}
desde que |x|<2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a igualdade abaixo é verdadeira:
\frac{x^{3}}{x+2}=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{2^{n+1}} x^{n+3}
e informa a condição sobre x:
|x|<2.
Lista das informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função à esquerda é \dfrac{x^{3}}{x+2}.
  • A série à direita é \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{2^{n+1}} x^{n+3}.
  • A igualdade deve valer para |x|<2.

Passo 2

Recordando um resultado básico (fórmula da série geométrica) que vamos usar: para uma variável r real ou complexa,
\sum_{n=0}^{+\infty} r^{n}=\frac{1}{1-r}\quad\text{desde que}\quad |r|<1.
Explicação rápida e didática dessa fórmula: se definirmos a soma parcial
S_{N}=\sum_{n=0}^{N} r^{n}=1+r+r^{2}+\cdots+r^{N},
então multiplicando por 1-r obtemos
(1-r)S_{N}=1-r^{N+1}.
Dividindo por 1-r (assumindo r\neq1):
S_{N}=\frac{1-r^{N+1}}{1-r}.
Se |r|<1, então r^{N+1}\to0 quando N\to\infty, logo tomando o limite:
\sum_{n=0}^{+\infty} r^{n}=\lim_{N\to\infty}S_{N}=\frac{1}{1-r}.
Isso é tudo o que precisamos sobre a série geométrica.

Passo 3

Vamos manipular a expressão \dfrac{x^{3}}{x+2} para fazê-la parecer com a forma \text{constante}\times\dfrac{1}{1-r}. Primeiro fatoramos 2 no denominador:
\frac{x^{3}}{x+2}=\frac{x^{3}}{2\left(1+\dfrac{x}{2}\right)}.
Podemos escrever então
\frac{x^{3}}{x+2}=\frac{x^{3}}{2}\cdot\frac{1}{1+ \dfrac{x}{2}}.
Note que \dfrac{1}{1+\dfrac{x}{2}} é da forma \dfrac{1}{1-r} com r=-\dfrac{x}{2}. Vamos aplicar a série geométrica com r=-\dfrac{x}{2}. A condição |r|<1 fica
\left|-\frac{x}{2}\right|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|<2,
que é exatamente a condição dada no enunciado.

Passo 4

Aplicando a fórmula da série geométrica com r=-\dfrac{x}{2}, obtemos
\frac{1}{1+\dfrac{x}{2}}=\sum_{n=0}^{+\infty}\left(-\frac{x}{2}\right)^{n}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}}{2^{n}}x^{n},
válido para |x|<2. Multiplicando ambos os lados por \dfrac{x^{3}}{2} (operações permitidas porque a série converge absolutamente para |x|<2), temos
\frac{x^{3}}{x+2}=\frac{x^{3}}{2}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}}{2^{n}}x^{n}.
Agora combinamos os fatores de x e de 2:
\frac{x^{3}}{2}\cdot\frac{(-1)^{n}}{2^{n}}x^{n}=\frac{(-1)^{n}}{2^{n+1}}x^{n+3}.
Portanto a série resultante é
\frac{x^{3}}{x+2}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}}{2^{n+1}}x^{n+3},
para |x|<2.

Passo 5

Justificativa da região de validade por teste de razão (confirmando a condição): os coeficientes gerais são a_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{2^{n+1}} para o termo em x^{n+3}. Aplicando o teste da razão à série em potências de x,
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}x^{n+4}}{a_{n}x^{n+3}}\right| =\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\dfrac{1}{2^{n+2}}}{\dfrac{1}{2^{n+1}}}\right||x| =\frac{|x|}{2}.
A série converge se \dfrac{|x|}{2}<1, isto é, se |x|<2. Isso confirma que a expansão obtida é válida exatamente para |x|<2.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{3}}{x+2}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}}{2^{n+1}}x^{n+3}, |x|<2

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