Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2 x^{3}-x^{2}+5}{4 x^{3}+2 x-1}.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{2x^{3}-x^{2}+5}{4x^{3}+2x-1}.
Informações relevantes fornecidas:
  • O numerador é o polinômio \;2x^{3}-x^{2}+5.
  • O denominador é o polinômio \;4x^{3}+2x-1.
  • Ambos são polinômios de grau \;3 (o maior expoente em cada polinômio é \;3).
  • Os coeficientes dos termos de maior grau são \;2 (no numerador) e \;4 (no denominador).

Passo 2

Conceitos que vamos usar (explicados de forma simples):
  • Quando queremos o comportamento de uma função racional (quociente de polinômios) para x muito grande ( x\to+\infty), os termos de maior potência de x dominam — isto é, x^{3} cresce muito mais rápido que x^{2}, x ou constantes, então os termos de menor grau tornam-se desprezíveis frente ao termo de maior grau.
  • Propriedade de limites usada: se \lim_{x\to+\infty} a(x)=A e \lim_{x\to+\infty} b(x)=B com B\neq0, então
\lim_{x\to+\infty}\frac{a(x)}{b(x)}=\frac{A}{B}.
  • Comportamento dos termos inversos de potências: para qualquer k>0,
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^{k}}=0,
porque o denominador cresce sem limite e o quociente tende a zero.

Passo 3

Aplicação prática: dividir numerador e denominador pelo maior grau presente, que é x^{3}. Isso deixa as potências relativas explícitas e mostra quais termos tendem a zero. Escrevemos:
\frac{2x^{3}-x^{2}+5}{4x^{3}+2x-1} = \frac{\dfrac{2x^{3}}{x^{3}}-\dfrac{x^{2}}{x^{3}}+\dfrac{5}{x^{3}}}{\dfrac{4x^{3}}{x^{3}}+\dfrac{2x}{x^{3}}-\dfrac{1}{x^{3}}} = \frac{2-\dfrac{1}{x}+\dfrac{5}{x^{3}}}{4+\dfrac{2}{x^{2}}-\dfrac{1}{x^{3}}}.

Passo 4

Agora avaliamos o limite termo a termo, usando que \dfrac{1}{x}, \dfrac{1}{x^{2}}, \dfrac{1}{x^{3}} tendem a 0 quando x\to+\infty. Assim,
\lim_{x\to+\infty}\left(2-\dfrac{1}{x}+\dfrac{5}{x^{3}}\right)=2 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to+\infty}\left(4+\dfrac{2}{x^{2}}-\dfrac{1}{x^{3}}\right)=4.
Pela propriedade do quociente de limites, podemos concluir que o limite da razão é o quociente desses limites:
\lim_{x\to+\infty}\frac{2-\dfrac{1}{x}+\dfrac{5}{x^{3}}}{4+\dfrac{2}{x^{2}}-\dfrac{1}{x^{3}}}=\frac{2}{4}.

Passo 5

Comentário didático e regra geral (útil para a prova): para uma função racional \dfrac{P(x)}{Q(x)} com P e Q polinômios,
  • se \deg P < \deg Q então o limite quando x\to\pm\infty é 0;
  • se \deg P = \deg Q então o limite é o quociente dos coeficientes angulares (dos termos de maior grau) de P e Q;
  • se \deg P > \deg Q então o limite é \pm\infty (o sinal depende dos coeficientes e do sentido de x\to\pm\infty).
    Neste problema as duas degraus são iguais ( 3), por isso o limite é o quociente dos coeficientes principais, que encontramos como \dfrac{2}{4}.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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