Calcule os limites:
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o limite
Informações relevantes fornecidas:
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é o polinômio
. - Ambos são polinômios de grau
(o maior expoente em cada polinômio é ). - Os coeficientes dos termos de maior grau são
(no numerador) e (no denominador).
Passo 2
Conceitos que vamos usar (explicados de forma simples):
- Quando queremos o comportamento de uma função racional (quociente de polinômios) para
muito grande ( ), os termos de maior potência de dominam — isto é, cresce muito mais rápido que , ou constantes, então os termos de menor grau tornam-se desprezíveis frente ao termo de maior grau. - Propriedade de limites usada: se
e com , então
- Comportamento dos termos inversos de potências: para qualquer
,
porque o denominador cresce sem limite e o quociente tende a zero.
Passo 3
Aplicação prática: dividir numerador e denominador pelo maior grau presente, que é
. Isso deixa as potências relativas explícitas e mostra quais termos tendem a zero. Escrevemos:
Passo 4
Agora avaliamos o limite termo a termo, usando que
,
,
tendem a
quando
. Assim,
Pela propriedade do quociente de limites, podemos concluir que o limite da razão é o quociente desses limites:
Passo 5
Comentário didático e regra geral (útil para a prova): para uma função racional
com
e
polinômios,
- se
então o limite quando é ; - se
então o limite é o quociente dos coeficientes angulares (dos termos de maior grau) de e ; - se
então o limite é (o sinal depende dos coeficientes e do sentido de ).
Neste problema as duas degraus são iguais (), por isso o limite é o quociente dos coeficientes principais, que encontramos como .