Derive as seguintes funções:
f(x)=\left(x{2}+1\right){2025}.
f(x)=\left(x{2}+1\right){2025}.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. Informações fornecidas:
- A função é
. - A tarefa é obter
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Vamos lembrar duas regras básicas que usaremos (explicadas com calma):
- Regra da potência: se
com constante, então a derivada em relação a é
Aqui
é uma função qualquer (pode ser só uma variável), e
é o expoente. Essa fórmula diz: baixa o expoente e subtrai 1 do expoente.
- Regra da cadeia: se temos uma composição
, isto é, uma função exterior aplicada a uma função interior , então a derivada é
Em palavras: derivar primeiro a função exterior em relação à sua variável, avaliá-la na função interior, e multiplicar pela derivada da função interior.
Passo 3
Identificar a função exterior e a função interior na nossa
:
- Função interior:
. Aqui depende de . - Função exterior:
. Aqui recebe e eleva ao expoente .
Passo 4
Aplicar a regra da potência à função exterior
. Pela regra da potência,
Expliquei o que cada símbolo significa:
é o expoente original, e
é a mesma expressão com o expoente reduzido em 1.
Passo 5
Derivar a função interior
. Usamos que a derivada de
é
e a derivada de constante
é
. Assim,
Se precisar de lembrete: a regra para
com
é
.
Passo 6
Agora aplicamos a regra da cadeia conforme a fórmula do Passo 2:
Substituindo
(do Passo 4) e
(do Passo 5), obtemos a forma não simplificada
Lembrando que
, portanto a expressão acima já é a derivada, ainda que possamos simplificar o coeficiente numérico.
Passo 7
Simplificar o coeficiente numérico multiplicando
por
. Fazendo a conta:
Substituindo e escrevendo
, obtemos a forma simplificada da derivada (esta será apresentada apenas na seção de resposta final).