Derive as seguintes funções:
f(x)=\left(x{2}+1\right){2025}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=\left(x^{2}+1\right)^{2025}.
  • A tarefa é obter f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Vamos lembrar duas regras básicas que usaremos (explicadas com calma):
  • Regra da potência: se h(u)=u^{n} com n constante, então a derivada em relação a u é
h'(u)=n\,u^{\,n-1}.
Aqui u é uma função qualquer (pode ser só uma variável), e n é o expoente. Essa fórmula diz: baixa o expoente e subtrai 1 do expoente.
  • Regra da cadeia: se temos uma composição f(x)=h(u(x)), isto é, uma função exterior h aplicada a uma função interior u(x), então a derivada é
f'(x)=h'\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Em palavras: derivar primeiro a função exterior em relação à sua variável, avaliá-la na função interior, e multiplicar pela derivada da função interior.

Passo 3

Identificar a função exterior e a função interior na nossa f:
  • Função interior: u(x)=x^{2}+1. Aqui u depende de x.
  • Função exterior: h(u)=u^{2025}. Aqui h recebe u e eleva ao expoente 2025.

Passo 4

Aplicar a regra da potência à função exterior h(u)=u^{2025}. Pela regra da potência,
h'(u)=2025\,u^{2024}.
Expliquei o que cada símbolo significa: 2025 é o expoente original, e u^{2024} é a mesma expressão com o expoente reduzido em 1.

Passo 5

Derivar a função interior u(x)=x^{2}+1. Usamos que a derivada de x^{2} é 2x e a derivada de constante 1 é 0. Assim,
u'(x)=2x.
Se precisar de lembrete: a regra para x^{n} com n=2 é d/dx\,(x^{2})=2x.

Passo 6

Agora aplicamos a regra da cadeia conforme a fórmula do Passo 2:
f'(x)=h'\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Substituindo h'(u)=2025\,u^{2024} (do Passo 4) e u'(x)=2x (do Passo 5), obtemos a forma não simplificada
f'(x)=2025\,\big(u(x)\big)^{2024}\cdot 2x.
Lembrando que u(x)=x^{2}+1, portanto a expressão acima já é a derivada, ainda que possamos simplificar o coeficiente numérico.

Passo 7

Simplificar o coeficiente numérico multiplicando 2025 por 2. Fazendo a conta:
2025\cdot 2 = 4050.
Substituindo e escrevendo u(x)=x^{2}+1, obtemos a forma simplificada da derivada (esta será apresentada apenas na seção de resposta final).

Resposta

f'(x)=4050\,x\,\left(x^{2}+1\right)^{2024}

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