2a Questão (
pontos): Duas esferas idênticas condutoras de raio
são separadas pe distância de
. Qual a carga em cada esfera se o potencial em uma delas é de +1500 V e d outra é de - 1500 V ? (Sugestão: considere o potencial em cada esfera como sendo a soma do auto potencial, ou seja, do seu próprio potencial, mais o potencial da outra esfera - que, para este caso na carga pontual a uma certa distância, dada no problema.)
Passo 1
O enunciado dá duas esferas condutoras idênticas e pede a carga em cada uma delas. Informações relevantes (vou listar tudo explicitamente):
O enunciado sugere considerar o potencial em cada esfera como a soma do seu próprio potencial (auto potencial) mais o potencial causado pela outra esfera tratada como carga pontual situada no seu centro. A missão: encontrar
(carga da esfera 1) e
(carga da esfera 2).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando passo a passo):
- Potencial devido a uma esfera condutora carregada, avaliado na sua superfície, é igual ao potencial de uma carga pontual
situada no centro da esfera. A fórmula é
onde
(constante eletrostática, aproximadamente
),
é a carga da própria esfera e
é o raio da esfera. Explicação: fora de uma esfera condutora a distribuição de carga age como se estivesse concentrada no centro; na superfície, o potencial por causa da própria carga vale
.
- Potencial causado pela outra esfera, quando a separação
entre centros é muito maior que o raio (aqui e , então podemos tratar a outra esfera como carga pontual), é
- Como potencial é grandeza escalar, totalizamos por superposição:
Passo 3
Escrevo explicitamente as equações do problema usando a ideia do passo anterior:
Estas são duas equações lineares em
e
.
Passo 4
Simplifico dividindo ambas equações por
. Defino
,
e
(note que
é apenas um atalho para o lado direito dividido por
). As equações ficam:
Passo 5
Resolvo o sistema linear (vou mostrar as manipulações com cuidado):
Somando as duas equações obtemos
Somando as duas equações obtemos
Isto já é um resultado físico simples: as duas esferas têm cargas de sinais opostos e mesmo magnitude (soma zero). Agora subtraio a segunda equação da primeira:
Como
essa equação pode ser reescrita como
Passo 6
Usando
obtenho
. Substituo isso em
(veio diretamente da primeira equação ao substituir
):
e
Portanto basta calcular numericamente
e
.
Passo 7
Substituo os valores numéricos:
Agora
:
(Explicando:
, usei
com mais precisão para o valor mostrado.)
Passo 8
Calculo
e
:
Arredondei para três algarismos significativos, coerente com os dados do problema.
Passo 9
Verificação rápida (só para ficar tranquilo): substituindo de volta em
deve dar aproximadamente
. Como
o termo
é pequeno frente a
(porque
), e a conta numérica dá próximo de
— isto confirma coerência do resultado.