2a Questão ( \mathbf{2 , 5} pontos): Duas esferas idênticas condutoras de raio 15,0 \mathrm{~cm} são separadas pe distância de 10,0 \mathrm{~m}. Qual a carga em cada esfera se o potencial em uma delas é de +1500 V e d outra é de - 1500 V ? (Sugestão: considere o potencial em cada esfera como sendo a soma do auto potencial, ou seja, do seu próprio potencial, mais o potencial da outra esfera - que, para este caso na carga pontual a uma certa distância, dada no problema.)

Passo 1

O enunciado dá duas esferas condutoras idênticas e pede a carga em cada uma delas. Informações relevantes (vou listar tudo explicitamente):
\text{raio de cada esfera } R = 15{,}0\\ \text{cm} = 0{,}150\\ \text{m}
\text{distância entre os centros das esferas } d = 10{,}0\\ \text{m}â
\text{potencial da esfera 1 } V_1 = +1500\\ \text{V}
\text{potencial da esfera 2 } V_2 = -1500\\ \text{V}
O enunciado sugere considerar o potencial em cada esfera como a soma do seu próprio potencial (auto potencial) mais o potencial causado pela outra esfera tratada como carga pontual situada no seu centro. A missão: encontrar Q_1 (carga da esfera 1) e Q_2 (carga da esfera 2).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando passo a passo):
  • Potencial devido a uma esfera condutora carregada, avaliado na sua superfície, é igual ao potencial de uma carga pontual Q situada no centro da esfera. A fórmula é
V_{\text{self}} = k\,\frac{Q}{R},
onde k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} (constante eletrostática, aproximadamente 8{,}988\times10^9\\ \mathrm{N\,m^2/C^2}), Q é a carga da própria esfera e R é o raio da esfera. Explicação: fora de uma esfera condutora a distribuição de carga age como se estivesse concentrada no centro; na superfície, o potencial por causa da própria carga vale kQ/R.
  • Potencial causado pela outra esfera, quando a separação d entre centros é muito maior que o raio (aqui d=10{,}0\\ \text{m} e R=0{,}150\\ \text{m}, então podemos tratar a outra esfera como carga pontual), é
V_{\text{other}} = k\,\frac{Q_{\text{outra}}}{d}.
  • Como potencial é grandeza escalar, totalizamos por superposição:
V_1 = k\left(\frac{Q_1}{R} + \frac{Q_2}{d}\right),\qquad V_2 = k\left(\frac{Q_2}{R} + \frac{Q_1}{d}\right).

Passo 3

Escrevo explicitamente as equações do problema usando a ideia do passo anterior:
V_1 = k\left(\frac{Q_1}{R} + \frac{Q_2}{d}\right)=+1500
V_2 = k\left(\frac{Q_2}{R} + \frac{Q_1}{d}\right)=-1500
Estas são duas equações lineares em Q_1 e Q_2.

Passo 4

Simplifico dividindo ambas equações por k. Defino a=\dfrac{1}{R}, b=\dfrac{1}{d} e S=\dfrac{1500}{k} (note que S é apenas um atalho para o lado direito dividido por k). As equações ficam:
a Q_1 + b Q_2 = S
b Q_1 + a Q_2 = -S

Passo 5

Resolvo o sistema linear (vou mostrar as manipulações com cuidado):
Somando as duas equações obtemos
(a+b)(Q_1+Q_2) = S + (-S) = 0 \quad\Rightarrow\quad Q_1+Q_2 = 0.
Isto já é um resultado físico simples: as duas esferas têm cargas de sinais opostos e mesmo magnitude (soma zero). Agora subtraio a segunda equação da primeira:
(a-b)Q_1 + (b-a)Q_2 = S - (-S) = 2S.
Como b-a=-(a-b) essa equação pode ser reescrita como
(a-b)(Q_1 - Q_2) = 2S.

Passo 6

Usando Q_1+Q_2=0 obtenho Q_2=-Q_1. Substituo isso em (a-b)Q_1 = S (veio diretamente da primeira equação ao substituir Q_2=-Q_1):
(a-b)Q_1 = S \quad\Rightarrow\quad Q_1 = \frac{S}{a-b},
e
Q_2 = -Q_1 = -\frac{S}{a-b}.
Portanto basta calcular numericamente S e a-b.

Passo 7

Substituo os valores numéricos:
k = 8{,}988\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^2/C^2},
R = 0{,}150\\ \mathrm{m}\quad\Rightarrow\quad a=\frac{1}{R}=\frac{1}{0{,}150}=6{,}666\overline{6}\\ \mathrm{m^{-1}},
d = 10{,}0\\ \mathrm{m}\quad\Rightarrow\quad b=\frac{1}{d}=\frac{1}{10{,}0}=0{,}1\\ \mathrm{m^{-1}},
a-b = 6{,}666\overline{6}-0{,}1 = 6{,}566\overline{6}\\ \mathrm{m^{-1}}.
Agora S:
S=\frac{1500}{k}=\frac{1500}{8{,}988\times10^{9}}\\ \mathrm{C\cdot m} \approx 1{,}669\times10^{-7}.
(Explicando: 1500/9{,}0\times10^{9}\approx1{,}667\times10^{-7}, usei k com mais precisão para o valor mostrado.)

Passo 8

Calculo Q_1 e Q_2:
Q_1=\frac{S}{a-b}\approx\frac{1{,}669\times10^{-7}}{6{,}566\overline{6}}\\ \mathrm{C}\approx 2{,}54\times10^{-8}\\ \mathrm{C},
Q_2=-Q_1\approx -2{,}54\times10^{-8}\\ \mathrm{C}.
Arredondei para três algarismos significativos, coerente com os dados do problema.

Passo 9

Verificação rápida (só para ficar tranquilo): substituindo de volta em V_1=k\left(Q_1/R+Q_2/d\right) deve dar aproximadamente +1500\\ \mathrm{V}. Como Q_2=-Q_1 o termo Q_2/d é pequeno frente a Q_1/R (porque d\gg R), e a conta numérica dá próximo de 1500\\ \mathrm{V} — isto confirma coerência do resultado.

Resposta

Q_1 = +2,54\times10^{-8}\\ \mathrm{C}
Q_2 = -2,54\times10^{-8}\\ \mathrm{C}

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