2a Questão (9 pontos): A função
pode ser solução da equação diferencial
Se sim,
e
são iguais a quê? Justifique de forma completa a sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pergunta se ela pode satisfazer uma equação linear da forma
Para responder, vamos calcular
e
, substituir na equação e ver se existem funções
e
que anulem todos os termos.
Passo 2
Escrevemos
Então, pela regra do produto,
Como
segue que
Passo 3
Agora derivamos novamente:
Calcula-se
Substituindo
, obtém-se
Passo 4
Substituímos na equação
e separamos os termos que são proporcionais a
e os termos independentes de
. Isso gera duas condições:
- Coeficiente de
:
- Termos sem
: combinação racional em que também deve ser zero.
Da primeira condição temos
Mas, ao inserir
e
na segunda condição, a parte racional
não se anula identicamente. Isso mostra que não há como escolher
e
para zerar todos os termos simultaneamente.
Resposta
Não existe nenhuma escolha de
e
que torne
solução da equação