2a Questão (9 pontos): A função
y=raizx tan ^-1(x-5raizx)+raizx, x>0
pode ser solução da equação diferencial
x^2 y^prime prime+p(x) y^prime+q(x) y=0 ?
Se sim, p(x) e q(x) são iguais a quê? Justifique de forma completa a sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a função
y = raizx,tan^-1!l(x-5raizxr) + raizx, x>0
e pergunta se ela pode satisfazer uma equação linear da forma
x^2y'' + p(x),y' + q(x),y = 0
Para responder, vamos calcular y' e y'', substituir na equação e ver se existem funções p(x) e q(x) que anulem todos os termos.

Passo 2

Escrevemos
y = x^1/2l(A+1r), A = tan^-1!l(x-5x^1/2r)
Então, pela regra do produto,
y' = 12x^-1/2,(A+1) + x^1/2,A'
Como
A' = l(x-5x^1/2r)'1+l(x-5x^1/2r)^2 = x+52x^3/2x^2-9x+25x = x+52,x^1/2,(x^2-9x+25),
segue que
y' = A+12,x^1/2 ;+;x+52,(x^2-9x+25)

Passo 3

Agora derivamos novamente:
y'' = l(tfracA+12x^1/2r)' + l(tfracx+52Dr)', D = x^2-9x+25
Calcula-se
l(tfracA+12x^1/2r)' = A'2x^1/2 - A+14x^3/2, l(tfracx+52Dr)' = -,x^2+10x-702,D^2
Substituindo A'=x+52x^1/2D, obtém-se
y'' = x+54x,D ;-;A+14x^3/2 ;-;x^2+10x-702,D^2

Passo 4

Substituímos na equação
E(x)=x^2y'' + p(x),y' + q(x),y,
e separamos os termos que são proporcionais a A e os termos independentes de A. Isso gera duas condições:
  1. Coeficiente de A:
-x^1/24 + p(x)2,x^1/2 + q(x),x^1/2 = 0
  1. Termos sem A: combinação racional em x que também deve ser zero.
Da primeira condição temos
-tfrac14 x + tfrac12 p(x) + q(x),x = 0forall x>0 ;Longrightarrow; p(x)=0,;q(x)=tfrac14
Mas, ao inserir p(x)=0 e q(x)=tfrac14 na segunda condição, a parte racional
x(x+5)4D -x^2(x^2+10x-70)2D^2
não se anula identicamente. Isso mostra que não há como escolher p(x) e q(x) para zerar todos os termos simultaneamente.

Resposta

Não existe nenhuma escolha de p(x) e q(x) que torne
y=raizx,tan^-1!l(tfracx-5raizxr)+raizx
solução da equação
x^2y''+p(x),y'+q(x),y=0

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