Exemplo
Verifique se a função abaixo é diferenciável no ponto
:
Verifique se a função abaixo é diferenciável no ponto
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é diferenciável no ponto
.
Conteúdo: diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais em , montar a aproximação linear e verificar se o resto é negligible frente à norma do vetor de incremento.
Conteúdo: diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais em
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais gerais de
.
Para :
Para
Para
:
Avaliar em
:
Passo 3
A aproximação linear de
em
para incrementos
é
Logo, definimos o resto
Passo 4
Expandimos
. Usando a expansão de
, obtemos
Então
e, como
, segue que
Isso prova que o erro é
, logo
é diferenciável em
.
Resposta
A função é diferenciável no ponto
.