Exemplo
Verifique se a função abaixo é diferenciável no ponto (1,0) :
f(x, y)=x e^x y

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)=x e^xy
é diferenciável no ponto (1,0).
Conteúdo: diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais em (1,0), montar a aproximação linear e verificar se o resto é negligible frente à norma do vetor de incremento.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais gerais de f.
Para partial f/partial x:
partial fpartial x = partialpartial xl(x e^xyr) = e^xy + xl(e^xyr),y = e^xy(1 + xy)
Para partial f/partial y:
partial fpartial y = x cdot partialpartial yl(e^xyr) = x cdot e^xy,x = x^2 e^xy
Avaliar em (1,0):
fx(1,0)=e^0(1+1cdot0)=1, fy(1,0)=1^2 e^0=1

Passo 3

A aproximação linear de f em (1,0) para incrementos (h,k) é
L(h,k) = f(1,0) + fx(1,0),h + fy(1,0),k = 1 + h + k
Logo, definimos o resto
R(h,k) = f(1+h,k) - l[1 + h + kr]

Passo 4

Expandimos f(1+h,k)=(1+h)e^(1+h)k. Usando a expansão de e^(1+h)k=1 + (1+h)k + o(|(h,k)|), obtemos
f(1+h,k) =(1+h)l[1 + k + hk + o(|(h,k)|)r] =1 + h + k + 2hk + O(|(h,k)|^2)
Então
R(h,k)=2hk + O(|(h,k)|^2)
e, como |hk|<=12(h^2+k^2)=O(|(h,k)|^2), segue que
R(h,k)raizh^2+k^2to0 quando(h,k)to(0,0)
Isso prova que o erro é o(|(h,k)|), logo f é diferenciável em (1,0).

Resposta

A função é diferenciável no ponto (1,0).

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