Questão (12 pontos): Encontre a solução geral da equação diferencial e a solução do P.V.I.
Passo 1
O enunciado nos dá uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
e pede duas coisas: (i) a solução geral dessa EDO e (ii) a solução que satisfaz o problema de valor inicial (P.V.I.)
Para resolver, vamos usar o método característico: montamos o polinômio associado, achamos as raízes e montamos a solução em função delas. Depois ajustamos as constantes com as condições e
.
Para resolver, vamos usar o método característico: montamos o polinômio associado, achamos as raízes e montamos a solução em função delas. Depois ajustamos as constantes com as condições
Passo 2
Escrevemos o polinômio característico trocando
por
:
Esse trinômio é um quadrado perfeito, pois
tem raiz dupla
. Quando a raiz
é de multiplicidade 2, a forma geral da solução é
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 3
Agora calculamos
e aplicamos as condições iniciais.
Primeiro,
Primeiro,
Em
temos
Passo 4
Substituindo
e
na solução geral, obtemos a solução do P.V.I.:
Resposta
Solução geral:
Solução do P.V.I.: