1^ a Questão (12 pontos): Encontre a solução geral da equação diferencial e a solução do P.V.I.
y^prime prime-6 y^prime+9 y=0, y(0)=1, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
y'' - 6y' + 9y = 0
e pede duas coisas: (i) a solução geral dessa EDO e (ii) a solução que satisfaz o problema de valor inicial (P.V.I.)
Para resolver, vamos usar o método característico: montamos o polinômio associado, achamos as raízes e montamos a solução em função delas. Depois ajustamos as constantes com as condições y(0)=1 e y'(0)=1.

Passo 2

Escrevemos o polinômio característico trocando y por e^rx:
r^2 - 6r + 9 = 0
Esse trinômio é um quadrado perfeito, pois
r^2 - 6r + 9 = (r - 3)^2 = 0
tem raiz dupla r=3. Quando a raiz r é de multiplicidade 2, a forma geral da solução é
y(x) = C1 e^3x + C2,x,e^3x,
onde C1 e C2 são constantes a determinar.

Passo 3

Agora calculamos y' e aplicamos as condições iniciais.
Primeiro,
y(x) = C1 e^3x + C2,x,e^3x
y'(x) = 3C1 e^3x + C2 e^3x + 3C2 x e^3x = (3C1 + C2)e^3x + 3C2 x e^3x
Em x=0 temos
y(0)=C1=1,
y'(0)=(3C1 + C2)=1 Longrightarrow 3cdot1 + C2 = 1 Longrightarrow C2 = -2

Passo 4

Substituindo C1=1 e C2=-2 na solução geral, obtemos a solução do P.V.I.:
y(x) = e^3x - 2x,e^3x = e^3xl(1 - 2xr)

Resposta

Solução geral:
y(x) = C1 e^3x + C2,x,e^3x
Solução do P.V.I.:
y(x) = e^3xl(1 - 2xr)

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