Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(a) sumn=1^infty(-23)^n.
(b) sumn=1^infty(-1)^n+1 2^nn!.
(c) sumn=1^infty n^2n!.
(d) sumn=1^infty(-1)^n+1 n!2^n+1.

Passo 1

O enunciado pede para cada série determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar:
– Para séries geométricas, convergem se |r|<1.
– Teste da razão: se L=limntoinftyl|an+1/anr|, então convergência absoluta se L<1 e divergência se L>1.
– Se a série de termos absolutos convergir, dizemos “absolutamente convergente”. Se a original alternante convergir mas a de termos absolutos divergir, dizemos “condicionalmente convergente”. Se nem a original nem a de termos absolutos convergir, dizemos “divergente”.

Passo 2

Para sumn=1^infty(tfrac-23)^n temos série geométrica de razão r=-tfrac23 com lvert rrvert=tfrac23<1. Logo ela converge e, como
suml|tfrac-23r|^n=sum(tfrac23)^n também converge, concluímos que a série é absolutamente convergente.

Passo 3

Para sumn=1^infty(-1)^n+12^nn! consideramos primeiro a série de termos absolutos sum 2^nn!. Pelo desenvolvimento de e^x, temos
sumn=0^infty2^nn!=e^2<infty.
Logo a série de termos absolutos converge, e portanto a original é absolutamente convergente.

Passo 4

Para sumn=1^inftyn^2n! usamos o teste da razão nos termos an=n^2n!:
an+1an=(n+1)^2/(n+1)!n^2/n!=(n+1)^2n^2(n+1)=n+1n^2.
Ao passar ntoinfty, n+1n^2to0<1, logo a série de termos positivos converge. Como não há sinais alternados e a de termos absolutos também é ela mesma, a série é absolutamente convergente.

Passo 5

Para sumn=1^infty(-1)^n+1n!2^n+1 olhamos a série de termos absolutos bn=n!2^n+1 e aplicamos o teste da razão:
bn+1bn=(n+1)!/2^n+2n!/2^n+1=n+12.
Como limntoinfty(n+1)/2=infty>1, a série de termos absolutos diverge. Além disso, os termos n!2^n+1 não tendem a zero (crescem), logo a série original também diverge.

Resposta

(a) absolutamente convergente.
(b) absolutamente convergente.
(c) absolutamente convergente.
(d) divergente.

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